Theo định nghĩa cổ điển, xác suất của biến cố A bằng số kết quả thuận lợi cho A chia cho tổng số kết quả có thể xảy ra, với điều kiện các kết quả đó đồng khả năng. Viết bằng chữ: P(A) = n(A)/n(Ω), trong đó Ω là không gian mẫu, tập hợp mọi kết quả có thể của phép thử.
Công thức chỉ có một phép chia, nhưng hầu hết lỗi nằm ở hai chỗ: xác định không gian mẫu sai, và quên điều kiện "đồng khả năng". Bài này dành cho học sinh lớp 10 đang học xác suất cổ điển, và cả học sinh THCS đã làm quen với xác suất thực nghiệm. Bài đi qua cách viết không gian mẫu, các ví dụ gieo xúc xắc và lấy bi, mẹo dùng biến cố đối, cách nhờ AI kiểm lời giải và những chỗ AI hay đếm nhầm. Mọi kết quả đã được tính lại.
Không gian mẫu và biến cố: viết ra trước khi tính
Phép thử là một hành động có kết quả không đoán trước được, như gieo một con xúc xắc. Không gian mẫu Ω là tập hợp tất cả các kết quả có thể. Gieo một con xúc xắc sáu mặt, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(Ω) = 6. Biến cố là một tập con của Ω, chẳng hạn A: "mặt xuất hiện là số chẵn" = {2, 4, 6}, nên P(A) = 3/6 = 1/2.
Khi phép thử gồm nhiều bước, cách viết kết quả quyết định mọi thứ phía sau. Gieo hai con xúc xắc, nếu bạn viết kết quả là tổng hai mặt thì Ω = {2, 3, …, 12} có 11 phần tử, nhưng các tổng này không đồng khả năng. Cách đúng là viết kết quả dưới dạng cặp có thứ tự (mặt con thứ nhất, mặt con thứ hai), được 6 × 6 = 36 cặp, và 36 cặp này đồng khả năng nếu xúc xắc cân đối.
Thói quen nên có: trước khi đếm, viết một câu mô tả "một kết quả trông như thế nào" và tự hỏi "các kết quả này có cùng khả năng xảy ra không". Nếu có thể, liệt kê hoặc vẽ bảng cho không gian mẫu nhỏ. Bảng 6 × 6 cho hai con xúc xắc là thứ đáng vẽ một lần bằng tay, vì nó trả lời được hàng chục câu hỏi khác nhau chỉ bằng cách đếm ô.
Bảng tổng hai con xúc xắc: vì sao tổng 7 hay ra nhất
Từ bảng 36 cặp, đếm số cặp cho mỗi tổng. Mỗi cặp có xác suất 1/36, nên xác suất của một tổng bằng số cặp chia cho 36.
| Tổng | Các cặp cho tổng đó | Số cặp | Xác suất |
|---|---|---|---|
| 2 | (1,1) | 1 | 1/36 |
| 4 | (1,3), (2,2), (3,1) | 3 | 3/36 = 1/12 |
| 7 | (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) | 6 | 6/36 = 1/6 |
| 8 | (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) | 5 | 5/36 |
| 11 | (5,6), (6,5) | 2 | 2/36 = 1/18 |
| 12 | (6,6) | 1 | 1/36 |
Bảng chỉ ghi một số tổng tiêu biểu; bạn tự hoàn thành các tổng còn lại và kiểm rằng tổng số cặp bằng 36. Chú ý (1,3) và (3,1) là hai kết quả khác nhau, vì hai con xúc xắc là hai vật khác nhau dù trông giống hệt. Nếu bạn gộp chúng làm một, tổng 4 chỉ còn 2 cách và mọi xác suất phía sau đều sai. Đây là lỗi phổ biến nhất trong bài xác suất nhập môn, và cũng là lỗi AI đôi khi mắc khi lập luận bằng lời thay vì lập bảng.
Lấy bi trong hộp: dùng tổ hợp để đếm
Đề: một hộp có 4 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh, cùng kích thước. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 viên. Tính xác suất các biến cố.
- Không gian mẫu: mỗi kết quả là một nhóm 2 viên không thứ tự từ 10 viên, n(Ω) = C(10, 2) = 45. Các nhóm đồng khả năng vì bi cùng kích thước và lấy ngẫu nhiên.
- Biến cố "cả hai viên đều đỏ": chọn 2 từ 4 viên đỏ, C(4, 2) = 6 cách. Xác suất 6/45 = 2/15.
- Biến cố "hai viên khác màu": chọn 1 đỏ và 1 xanh, 4 × 6 = 24 cách. Xác suất 24/45 = 8/15.
- Biến cố "hai viên cùng màu": hai đỏ 6 cách, hai xanh C(6, 2) = 15 cách, cộng lại 21 cách. Xác suất 21/45 = 7/15.
- Tự kiểm: "khác màu" và "cùng màu" là hai biến cố đối nhau, nên 8/15 + 7/15 phải bằng 1. Khớp.
Khi lấy đồng thời, kết quả không có thứ tự nên dùng tổ hợp. Nếu đề nói lấy lần lượt từng viên không hoàn lại, bạn có thể đếm có thứ tự, n(Ω) = 10 × 9 = 90, và số kết quả thuận lợi cũng phải đếm có thứ tự. Hai cách cho cùng xác suất, miễn là tử số và mẫu số đếm theo cùng một kiểu. Trộn kiểu đếm, tử có thứ tự còn mẫu không thứ tự, là lỗi rất hay gặp.
Sơ đồ cây cho phép thử nhiều bước
Khi phép thử gồm nhiều bước như gieo đồng xu ba lần, sơ đồ cây giúp viết không gian mẫu mà không sót. Từ gốc tách hai nhánh S và N cho lần gieo thứ nhất, mỗi nhánh tách tiếp hai nhánh cho lần thứ hai, rồi hai nhánh nữa cho lần thứ ba. Cây có 2 × 2 × 2 = 8 lá: SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN, tám kết quả đồng khả năng với đồng xu cân đối.
Từ danh sách này, đọc ra được nhiều biến cố. Biến cố "có đúng hai lần ngửa" gồm SNN, NSN, NNS, nên xác suất là 3/8. Biến cố "có ít nhất một lần ngửa" dễ nhất là đi qua biến cố đối "không lần nào ngửa", chỉ gồm SSS, nên xác suất là 1 − 1/8 = 7/8. Biến cố "lần gieo đầu và lần gieo cuối giống nhau" gồm SSS, SNS, NSN, NNN, xác suất 4/8 = 1/2.
Lợi ích lớn nhất của sơ đồ cây là chống lỗi gộp kết quả. Học sinh hay lý luận "gieo ba lần thì số lần ngửa có thể là 0, 1, 2 hoặc 3, nên xác suất có đúng hai lần ngửa là 1/4". Cây cho thấy bốn khả năng đó lần lượt ứng với 1, 3, 3, 1 lá, không đều nhau. Nếu bạn để ý, dãy 1, 3, 3, 1 cũng chính là hàng 3 của tam giác Pascal, một cầu nối giữa phần đếm và phần xác suất mà bạn sẽ gặp lại nhiều lần.
Biến cố đối: đường tắt cho bài "ít nhất một"
Biến cố đối của A, kí hiệu là A gạch trên, xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra. Ta luôn có P(A) + P(biến cố đối của A) = 1. Mẹo này đặc biệt hữu ích khi biến cố có cụm "ít nhất một".
Ví dụ: gieo hai con xúc xắc, tính xác suất có ít nhất một mặt 6. Đếm trực tiếp phải xét ba trường hợp: chỉ con thứ nhất ra 6, chỉ con thứ hai ra 6, cả hai ra 6. Đếm biến cố đối nhanh hơn nhiều: "không con nào ra 6" có 5 × 5 = 25 cặp. Vậy xác suất cần tìm là 1 − 25/36 = 11/36.
Với hộp bi ở trên, xác suất lấy được ít nhất một viên đỏ bằng 1 trừ xác suất cả hai viên đều xanh: 1 − 15/45 = 30/45 = 2/3. Bạn có thể kiểm bằng cách cộng hai biến cố "cả hai đỏ" và "khác màu": 6/45 + 24/45 = 30/45, khớp.
Một sai lầm nên tránh: nghĩ rằng xác suất có ít nhất một mặt 6 khi gieo hai con là 1/6 + 1/6 = 1/3. Phép cộng này đếm trùng trường hợp cả hai con cùng ra 6, nên lớn hơn đáp số đúng 11/36. Gieo sáu con xúc xắc mà cộng như vậy thì ra 6/6 = 1, tức là chắc chắn có mặt 6, rõ ràng vô lý.
Xác suất thực nghiệm và xác suất lý thuyết
Ở lớp 6 và lớp 7, bạn đã làm quen với xác suất thực nghiệm: thực hiện phép thử nhiều lần và lấy số lần biến cố xảy ra chia cho tổng số lần thử. Ví dụ giả định: gieo hai con xúc xắc 72 lần, ghi được 14 lần có tổng bằng 7, xác suất thực nghiệm là 14/72, xấp xỉ 0,19.
Xác suất lý thuyết là 1/6, xấp xỉ 0,17. Hai số không trùng nhau và không cần trùng. Khi số lần thử tăng lên, xác suất thực nghiệm có xu hướng tiến gần xác suất lý thuyết, nhưng với vài chục lần thử, chênh lệch như vậy là hoàn toàn bình thường. Một lớp học chia nhóm, mỗi nhóm gieo vài chục lần rồi gộp kết quả cả lớp, sẽ thấy tỉ lệ chung gần 1/6 hơn tỉ lệ của từng nhóm.
Hoạt động này cũng là cách kiểm một lời giải lý thuyết mà bạn còn nghi ngờ. Nếu bạn tính ra P(tổng bằng 7) = 1/11 vì nghĩ có 11 tổng đồng khả năng, gieo thật vài trăm lần, hoặc mô phỏng bằng hàm sinh số ngẫu nhiên trong bảng tính, sẽ cho thấy tổng 7 xuất hiện nhiều hơn hẳn tổng 2 hay 12. Thực nghiệm không thay được chứng minh, nhưng rất giỏi trong việc vạch ra một lời giải sai.
Nhờ AI kiểm bài xác suất cho đúng cách
Bài xác suất là nơi lời giải của AI trông gọn gàng mà sai ở gốc, thường do chọn sai không gian mẫu. Hãy hỏi theo cách buộc AI lộ ra lập luận:
- "Em học lớp 10. Với đề sau, một kết quả của phép thử nên viết thế nào, và các kết quả có đồng khả năng không? Chưa tính xác suất."
- "Em đếm n(Ω) theo kiểu không thứ tự và n(A) theo kiểu này. Hai cách đếm có cùng kiểu chưa?"
- "Liệt kê tất cả các kết quả thuận lợi cho biến cố này dưới dạng cặp, để em đối chiếu với bảng em đã vẽ."
- "Gợi ý một cách giải bằng biến cố đối cho bài này, chỉ nêu biến cố đối là gì, em tự tính."
Khi AI và bạn ra hai kết quả khác nhau, đừng chọn bên nào nghe tự tin hơn. Hãy giảm bài xuống phiên bản nhỏ đến mức liệt kê được, hoặc làm một thí nghiệm nhỏ. Bài toán xác suất có lợi thế là luôn kiểm được bằng thực tế, và đó là thói quen đáng giữ hơn bất kỳ mẹo giải nhanh nào.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao gieo hai đồng xu, xác suất được một sấp một ngửa là 1/2 chứ không phải 1/3?
Vì kết quả phải viết thành cặp có thứ tự: SS, SN, NS, NN, gồm bốn kết quả đồng khả năng. Một sấp một ngửa ứng với SN và NS, nên xác suất là 2/4 = 1/2. Coi "một sấp một ngửa" là một kết quả duy nhất là gộp hai kết quả khác nhau làm một.
Khi nào không dùng được định nghĩa xác suất cổ điển?
Khi các kết quả không đồng khả năng, chẳng hạn xúc xắc bị lệch tâm, hoặc khi không gian mẫu vô hạn và không đếm được theo kiểu thông thường. Khi đó người ta dùng xác suất thực nghiệm hoặc các mô hình khác học ở lớp trên và bậc đại học.
Xác suất có thể lớn hơn 1 hay âm không?
Không. Xác suất luôn nằm trong đoạn từ 0 đến 1, vì số kết quả thuận lợi không thể âm và không thể nhiều hơn tổng số kết quả. Ra kết quả ngoài đoạn này là dấu hiệu chắc chắn đã có bước sai, thường là đếm trùng.
Lấy đồng thời hai viên bi và lấy lần lượt không hoàn lại có cho cùng xác suất không?
Với các biến cố chỉ quan tâm màu của nhóm bi lấy ra, hai cách cho cùng xác suất nếu bạn đếm tử số và mẫu số theo cùng một kiểu. Khác biệt chỉ xuất hiện khi biến cố có nhắc thứ tự, chẳng hạn viên thứ nhất đỏ và viên thứ hai xanh.
Có nên dùng ứng dụng chụp ảnh giải bài xác suất không?
Dùng để đối chiếu sau khi tự làm thì được, nhưng nên kiểm cách công cụ đó xác định không gian mẫu. Bài xác suất sai thường sai từ dòng đầu tiên, và nếu chỉ chép đáp số, bạn không học được cách tránh đúng lỗi đó trong bài kiểm tra.