Số trung bình cộng lấy tổng chia cho số giá trị, trung vị là giá trị đứng giữa khi đã sắp xếp dãy số, còn mốt là giá trị xuất hiện nhiều lần nhất. Cả ba cùng trả lời một câu hỏi: "số liệu này thường xoay quanh mức nào?", nhưng mỗi số trả lời theo một cách, và trong nhiều bài toán chúng cho ba kết quả khác nhau.
Học sinh thường tính đúng cả ba mà vẫn lúng túng ở câu hỏi cuối bài: "Nên dùng số nào để đại diện cho mẫu số liệu?". Bài này đi từ cách tính bằng tay, qua một ví dụ cho thấy vì sao ba số lệch nhau, tới cách nhờ AI giải thích mà không để AI làm thay, và những lỗi AI hay mắc khi tính thống kê. Mọi số liệu trong bài là ví dụ giả định, đã được tính lại.
Ba số đặc trưng là gì và tính bằng tay thế nào
Giả sử bạn có một dãy n số liệu. Số trung bình cộng bằng tổng tất cả các giá trị chia cho n. Nếu dãy là 2, 3, 3, 5, 6, 9 thì tổng là 28, có 6 giá trị, nên số trung bình là 28/6, xấp xỉ 4,67. Con số này có thể không trùng với giá trị nào trong dãy, và cũng không cần phải là số nguyên, kể cả khi dữ liệu là số người hay số quyển sách.
Trung vị đòi hỏi một bước mà học sinh hay bỏ: sắp xếp dãy từ nhỏ đến lớn trước. Khi n lẻ, trung vị là giá trị đứng chính giữa, ở vị trí thứ (n + 1)/2. Khi n chẵn, trung vị là trung bình cộng của hai giá trị đứng giữa. Với dãy trên, n = 6, hai giá trị giữa là 3 và 5, nên trung vị bằng (3 + 5)/2 = 4. Trung vị chia dãy thành hai nửa có số lượng giá trị bằng nhau.
Mốt là giá trị có tần số lớn nhất. Trong dãy trên, số 3 xuất hiện hai lần, các số khác một lần, nên mốt là 3. Một mẫu số liệu có thể có nhiều mốt nếu nhiều giá trị cùng có tần số lớn nhất, và khi mọi giá trị đều xuất hiện số lần bằng nhau thì việc nói về mốt không còn mấy ý nghĩa. Mốt cũng là số duy nhất trong ba số dùng được cho dữ liệu không phải là số, chẳng hạn màu áo đồng phục được chọn nhiều nhất.
Ví dụ: một giá trị lạ kéo lệch số trung bình như thế nào
Ví dụ giả định: một nhóm 9 bạn ghi lại thời gian đi từ nhà đến trường, tính bằng phút, sau khi sắp xếp được dãy 5, 7, 8, 10, 10, 12, 15, 18, 40. Bạn cuối cùng ở xa, phải đi xe buýt và đổi tuyến. Tổng chín giá trị là 125, nên số trung bình xấp xỉ 13,9 phút. Trung vị là giá trị thứ năm, bằng 10 phút. Mốt cũng là 10 phút.
Bây giờ nhìn kỹ: tám trên chín bạn đi dưới 20 phút, sáu bạn đi không quá 12 phút, nhưng số trung bình lại gần 14 phút. Một giá trị 40 đã kéo số trung bình lên. Nếu bỏ giá trị đó ra, tám giá trị còn lại có tổng 85, số trung bình là 10,625 phút, còn trung vị vẫn là 10 phút. Trung vị gần như không nhúc nhích, số trung bình thì tụt gần 3,3 phút.
Đó là điều quan trọng nhất cần nhớ ở bài này: số trung bình nhạy với giá trị ngoại lệ, trung vị thì không. Khi số liệu có vài giá trị rất lớn hoặc rất nhỏ so với phần còn lại, trung vị thường đại diện tốt hơn. Khi số liệu khá đều, không có giá trị lạ, số trung bình dùng được hết thông tin của mọi giá trị nên là lựa chọn tự nhiên. Ở lớp 10, bạn sẽ học cách dùng khoảng tứ phân vị để quyết định một giá trị có phải là ngoại lệ hay không, thay vì chỉ nhìn bằng mắt.
Nên chọn số nào để đại diện cho mẫu số liệu
Bảng dưới gom những tình huống hay gặp trong bài tập và trong đời sống. Đây là gợi ý để lập luận, không phải luật cứng; điều giáo viên chờ đợi ở câu trả lời là lý do bạn chọn.
| Tình huống | Số nên dùng | Lý do |
|---|---|---|
| Số liệu đều, không có giá trị lạ (chiều cao của bạn trong lớp) | Số trung bình | Dùng hết thông tin của mọi giá trị, dễ so sánh giữa các nhóm |
| Có vài giá trị rất lớn hoặc rất nhỏ (thời gian đi học có một bạn ở rất xa) | Trung vị | Không bị giá trị ngoại lệ kéo lệch |
| Dữ liệu là loại, nhãn (màu yêu thích, môn thể thao chọn nhiều nhất) | Mốt | Không cộng hay sắp xếp được các nhãn |
| Cần biết cỡ hàng nào bán chạy nhất (cỡ giày, cỡ áo) | Mốt | Câu hỏi là "cỡ nào phổ biến nhất", không phải "cỡ trung bình" |
| Cần tính tổng từ trung bình (tổng số quyển sách cả lớp đã đọc) | Số trung bình | Số trung bình nhân với n ra đúng tổng, trung vị thì không |
Một câu hỏi kiểm tra nhanh: nếu số trung bình lớn hơn trung vị khá nhiều, nhiều khả năng dữ liệu có vài giá trị lớn bất thường kéo số trung bình lên. Ngược lại, số trung bình nhỏ hơn hẳn trung vị gợi ý có vài giá trị rất nhỏ. Nhìn độ chênh giữa hai số là cách nhận ra dữ liệu lệch trước cả khi vẽ biểu đồ.
Tính từ bảng tần số mà không phải viết lại cả dãy
Nhiều bài cho số liệu dưới dạng bảng tần số thay vì một dãy dài. Ví dụ giả định: hỏi 26 bạn có bao nhiêu anh chị em ruột, được 4 bạn trả lời 0, 12 bạn trả lời 1, 8 bạn trả lời 2 và 2 bạn trả lời 3. Các bước như sau.
- Kiểm tổng tần số: 4 + 12 + 8 + 2 = 26, khớp với số bạn được hỏi. Bước này hay bị bỏ nhưng bắt được lỗi chép đề ngay từ đầu.
- Tính tổng các giá trị bằng cách nhân từng giá trị với tần số của nó: 0 × 4 + 1 × 12 + 2 × 8 + 3 × 2 = 0 + 12 + 16 + 6 = 34.
- Số trung bình bằng 34/26, xấp xỉ 1,31. Lỗi kinh điển là lấy (0 + 1 + 2 + 3)/4 = 1,5, tức là quên rằng mỗi giá trị có số lần xuất hiện khác nhau.
- Tìm trung vị bằng tần số tích luỹ: n = 26 chẵn nên cần giá trị thứ 13 và thứ 14. Cộng dồn: giá trị 0 chiếm vị trí 1 đến 4, giá trị 1 chiếm vị trí 5 đến 16. Cả vị trí 13 và 14 đều rơi vào giá trị 1, nên trung vị bằng 1.
- Mốt là giá trị có tần số lớn nhất, ở đây là 1 với tần số 12. Chú ý mốt là giá trị 1, không phải số 12.
Nếu bạn dùng máy tính cầm tay, phần lớn các dòng máy có chế độ thống kê cho nhập cột giá trị và cột tần số riêng. Nhập xong, đọc số trung bình và so với kết quả tính tay; hai số khớp thì yên tâm, lệch thì kiểm lại cột tần số trước tiên.
Nhờ AI giải thích mà vẫn tự tính
AI rất hữu ích khi bạn chưa hiểu vì sao phải sắp xếp trước khi tìm trung vị, hay vì sao số trung bình bị kéo lệch. Nó kém hữu ích nếu bạn dán đề vào và chép đáp số. Một vài câu lệnh mẫu đặt đúng vai cho AI:
- "Em học lớp 7. Đừng giải bài này. Hãy giải thích vì sao muốn tìm trung vị thì phải sắp xếp dãy số trước, bằng một ví dụ khác với bài của em."
- "Em đã tính số trung bình, trung vị và mốt của dãy sau và được các kết quả này. Đừng đưa đáp án ngay, hãy chỉ ra em sai ở bước nào nếu có, chỉ bằng câu hỏi gợi ý."
- "Cho em ba dãy số liệu ngắn mà ở dãy thứ nhất ba số trùng nhau, dãy thứ hai số trung bình lớn hơn trung vị, dãy thứ ba trung vị lớn hơn số trung bình. Không ghi đáp án, em sẽ tự tính rồi gửi lại."
- "Giải thích bằng lời của một bạn lớp 7 vì sao người ta hay dùng trung vị chứ không dùng số trung bình khi nói về thời gian chờ ở một quầy đông người."
Điểm chung của các câu lệnh trên là bạn nói rõ lớp mình học, nói rõ không muốn lời giải, và yêu cầu ví dụ khác với đề bài. Như vậy phần tính toán vẫn do bạn làm, AI chỉ đóng vai người gợi ý. Nếu dữ liệu là số liệu thật của bạn bè, hãy bỏ tên trước khi dán vào bất kỳ chatbot nào.
Những lỗi AI hay mắc khi tính trung bình và trung vị
Cộng sai khi dãy dài. Mô hình ngôn ngữ đoán chữ tiếp theo chứ không thật sự làm phép cộng như máy tính, nên với dãy hai ba chục số, tổng có thể lệch vài đơn vị mà lời giải vẫn trông rất tự tin. Cách kiểm: tự cộng lại bằng máy tính cầm tay, hoặc yêu cầu AI liệt kê tổng cộng dồn sau từng số để bạn soát.
Không sắp xếp trước khi lấy giá trị giữa. Có lúc AI lấy luôn số đứng giữa trong dãy chưa sắp xếp mà bạn dán vào. Đáp số trông hợp lý nên rất khó phát hiện nếu bạn không tự sắp xếp lại một lần.
Sắp xếp sót hoặc thừa một giá trị. Khi chép lại dãy đã sắp xếp, AI đôi khi bỏ mất một số trùng lặp, chẳng hạn hai số 10 chỉ còn một. Đếm lại số giá trị sau khi sắp xếp, phải đúng bằng n.
Nhầm mốt với tần số. Câu trả lời kiểu "mốt là 12" trong khi 12 là tần số của giá trị 1 là lỗi gặp ở cả học sinh lẫn AI. Mốt luôn phải là một giá trị có trong mẫu số liệu.
Chọn số đại diện mà không nêu lý do. AI có thể chọn số trung bình theo thói quen dù dữ liệu có giá trị ngoại lệ rõ ràng. Phần lý giải là phần bạn phải tự làm, vì đó chính là điều bài học muốn kiểm tra.
Tự làm thống kê nhỏ của lớp bằng bảng tính
Cách học thống kê nhớ lâu nhất là tự thu thập một mẫu số liệu nhỏ rồi tính trên đó. Chọn một câu hỏi không làm ai ngại: thời gian ngủ đêm qua, số phút đi đến trường, số cốc nước uống trong ngày. Tránh hỏi điểm kiểm tra hay cân nặng, vì đó là thông tin riêng và dễ khiến bạn bè bị so sánh.
Nhập số liệu vào một cột của bảng tính, không cần cột tên. Các phần mềm bảng tính phổ biến đều có hàm tính số trung bình, trung vị và mốt; tên hàm có thể khác nhau tuỳ phần mềm và ngôn ngữ cài đặt, nên bạn kiểm trong phần trợ giúp của phiên bản mình dùng. Tính tay trước, rồi dùng bảng tính để đối chiếu.
Sau đó thử một việc mà sách khó làm cho bạn: sửa một giá trị thành rất lớn, chẳng hạn đổi 15 phút thành 150 phút, và nhìn ba ô kết quả thay đổi thế nào. Số trung bình nhảy hẳn lên, trung vị đứng yên hoặc chỉ dịch nhẹ, mốt thường không đổi. Chỉ cần thấy cảnh đó một lần, bạn sẽ không còn phải học thuộc câu "trung vị ít bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ".
Nếu muốn hỏi AI nhận xét về mẫu số liệu này, chỉ dán cột số, không dán tên bạn bè hay lớp, và tự kiểm lại mọi con số AI đưa ra trước khi ghi vào vở.
Câu hỏi thường gặp
Số trung bình có bắt buộc phải là một giá trị có trong dãy số liệu không?
Không. Số trung bình là kết quả của phép chia tổng cho số giá trị nên có thể là số thập phân và không trùng với giá trị nào. Chẳng hạn trung bình mỗi bạn có 1,31 anh chị em là hoàn toàn hợp lệ, dù không ai có đúng 1,31 người.
Khi số giá trị là số chẵn, trung vị có thể không nằm trong dãy không?
Có thể. Với n chẵn, trung vị là trung bình cộng của hai giá trị đứng giữa, nên khi hai giá trị đó khác nhau thì trung vị là một số nằm giữa chúng và có thể không có trong dãy. Nếu hai giá trị giữa bằng nhau thì trung vị chính là giá trị đó.
Một mẫu số liệu có thể không có mốt hoặc có hai mốt không?
Có. Nếu hai hay nhiều giá trị cùng có tần số lớn nhất thì mẫu số liệu có nhiều mốt. Nếu mọi giá trị đều xuất hiện số lần như nhau, nhiều tài liệu nói mẫu số liệu không có mốt hoặc mốt không mang ý nghĩa. Bạn theo cách diễn đạt trong sách mình học.
Vì sao bài tập hay hỏi "nên dùng số nào để đại diện" mà không có đáp án duy nhất?
Vì câu hỏi kiểm tra khả năng lập luận dựa trên dữ liệu. Điều quan trọng là bạn chỉ ra đặc điểm của mẫu số liệu, chẳng hạn có giá trị ngoại lệ hay dữ liệu là nhãn, rồi giải thích vì sao số mình chọn phù hợp với câu hỏi đặt ra.
Có nên dùng ứng dụng chụp ảnh đề để lấy luôn ba số đặc trưng không?
Dùng để đối chiếu sau khi đã tự tính thì được, nhưng chỉ chép đáp số thì bạn bỏ qua đúng phần bài học muốn dạy là sắp xếp, đếm tần số và lập luận chọn số đại diện. Ngoài ra công cụ đọc ảnh có thể đọc nhầm số, đặc biệt với bảng tần số viết tay.