Phương sai là trung bình cộng của bình phương các độ lệch giữa từng giá trị và số trung bình; độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai. Cả hai đo mức độ số liệu tản ra quanh số trung bình: số liệu càng sát số trung bình thì hai số này càng nhỏ, số liệu càng tản xa thì càng lớn.
Học sinh lớp 10 thường thuộc công thức nhưng khó trả lời "độ lệch chuẩn bằng 4,56 thì có nghĩa là gì". Bài này bắt đầu bằng ý nghĩa, rồi mới tới hai cách tính tay, cách kiểm bằng máy tính cầm tay và bảng tính, chuyện chia cho n hay n − 1, và cách nhờ AI giải thích mà không để AI làm phép tính thay. Các số liệu trong bài là ví dụ giả định, đã tính lại.
Hai nơi cùng nhiệt độ trung bình, khác nhau ở đâu
Ví dụ giả định: nhiệt độ cao nhất trong năm ngày ở nơi A là 30, 31, 32, 33, 34 độ C; ở nơi B là 26, 28, 32, 36, 38 độ C. Cả hai có tổng 160, số trung bình bằng 32 độ C, trung vị cũng bằng 32 độ C. Nếu chỉ nhìn số trung bình và trung vị, hai nơi trông y hệt nhau.
Nhưng ai sống ở nơi B sẽ thấy ngày nóng ngày dịu thất thường, phải chuẩn bị áo khác nhau mỗi ngày; người ở nơi A thì gần như ngày nào cũng giống ngày nào. Điều khác biệt đó là độ tản của số liệu, và đó chính là thứ phương sai và độ lệch chuẩn đo.
Tính ra, nơi A có độ lệch chuẩn xấp xỉ 1,41 độ C, nơi B có độ lệch chuẩn xấp xỉ 4,56 độ C. Có thể hiểu nôm na: ở nơi A, mỗi ngày thường chênh khỏi mức trung bình chừng một đến hai độ; ở nơi B, mức chênh điển hình lên tới bốn năm độ. Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với số liệu nên đọc được theo kiểu đó. Phương sai thì có đơn vị là bình phương đơn vị gốc, ở đây là "độ C bình phương", nên khó diễn giải trực tiếp; đó là lý do người ta lấy căn để trở về đơn vị ban đầu.
Cách 1: tính theo định nghĩa, từng độ lệch một
Làm với số liệu nơi B: 26, 28, 32, 36, 38. Cách này dài hơn nhưng giúp bạn hiểu từng con số đang làm gì.
- Tính số trung bình: (26 + 28 + 32 + 36 + 38)/5 = 160/5 = 32.
- Tính độ lệch của từng giá trị so với số trung bình: −6, −4, 0, 4, 6. Kiểm nhanh: tổng các độ lệch luôn bằng 0. Nếu tổng khác 0, bạn đã tính sai số trung bình hoặc một độ lệch.
- Bình phương từng độ lệch: 36, 16, 0, 16, 36. Bình phương để các độ lệch âm và dương không triệt tiêu nhau.
- Cộng các bình phương: 36 + 16 + 0 + 16 + 36 = 104.
- Chia cho n = 5 để được phương sai: 104/5 = 20,8.
- Lấy căn bậc hai để được độ lệch chuẩn: căn bậc hai của 20,8, xấp xỉ 4,56.
Làm tương tự với nơi A: độ lệch là −2, −1, 0, 1, 2; bình phương là 4, 1, 0, 1, 4; tổng là 10; phương sai 10/5 = 2; độ lệch chuẩn là căn bậc hai của 2, xấp xỉ 1,41. Bạn nên tự làm lại cả hai bảng này trên giấy một lần.
Cách 2: công thức rút gọn và khi nào nên dùng
Có một công thức tương đương, tiện hơn khi số trung bình là số lẻ: phương sai bằng trung bình cộng của các bình phương trừ đi bình phương của số trung bình. Viết bằng chữ: s^2 = (x1^2 + x2^2 + … + xn^2)/n − (số trung bình)^2.
Kiểm với nơi B: các bình phương là 676, 784, 1024, 1296, 1444, tổng bằng 5224, chia 5 được 1044,8. Bình phương của số trung bình là 32^2 = 1024. Hiệu bằng 1044,8 − 1024 = 20,8, khớp với cách 1. Với nơi A: tổng các bình phương là 5130, chia 5 được 1026, trừ 1024 được 2, cũng khớp.
Công thức rút gọn đỡ phải trừ từng giá trị cho một số trung bình lẻ như 13,89, nên ít sai số làm tròn hơn khi tính tay. Nhưng nó có một bẫy: khi số liệu lớn và tản ít, hai số đem trừ rất gần nhau, chỉ một lỗi làm tròn nhỏ ở bước giữa cũng có thể làm kết quả lệch nhiều, thậm chí ra số âm, điều không bao giờ xảy ra với phương sai thật. Nếu thấy phương sai âm, chắc chắn có bước sai. Vì thế, khi tính tay, giữ đủ chữ số ở các bước giữa và chỉ làm tròn ở bước cuối.
Chia cho n hay n − 1: vì sao máy có hai nút
Đây là chỗ gây rối nhiều nhất khi bạn kiểm kết quả bằng máy. Sách giáo khoa Toán 10 hiện hành định nghĩa phương sai của mẫu số liệu với phép chia cho n; có sách ghi chú thêm về phương sai hiệu chỉnh chia cho n − 1. Máy tính và bảng tính thường có cả hai.
| Cách chia | Thường gặp dưới tên | Kết quả với nơi B | Khi nào dùng |
|---|---|---|---|
| Chia cho n | σx trên nhiều máy tính cầm tay; nhóm hàm có đuôi P trong nhiều bảng tính | Phương sai 20,8; độ lệch chuẩn xấp xỉ 4,56 | Theo định nghĩa trong sách lớp 10, mô tả chính mẫu số liệu đang có |
| Chia cho n − 1 | sx trên nhiều máy tính cầm tay; nhóm hàm có đuôi S trong nhiều bảng tính | Phương sai 26; độ lệch chuẩn xấp xỉ 5,10 | Khi dùng mẫu để ước lượng cho một tổng thể lớn hơn, học kỹ ở bậc đại học |
Với n lớn, hai cách cho kết quả gần nhau; với n nhỏ như 5 thì chênh khá rõ. Vì vậy, khi máy cho 5,10 mà bạn tính tay ra 4,56, đừng vội gạch bài: kiểm xem mình đọc nút nào. Ký hiệu và tên hàm thay đổi theo dòng máy và phiên bản phần mềm, nên xem hướng dẫn của đúng máy bạn đang dùng.
Tính phương sai khi số liệu cho dưới dạng bảng tần số
Ví dụ giả định: hỏi 20 bạn trong tuần qua đến thư viện bao nhiêu lần, được 3 bạn trả lời 0 lần, 5 bạn 1 lần, 8 bạn 2 lần và 4 bạn 3 lần. Không cần viết lại dãy 20 số, chỉ cần nhân với tần số ở mỗi bước.
- Kiểm tổng tần số: 3 + 5 + 8 + 4 = 20.
- Tính số trung bình: (0 × 3 + 1 × 5 + 2 × 8 + 3 × 4)/20 = (0 + 5 + 16 + 12)/20 = 33/20 = 1,65.
- Tính tổng các bình phương có nhân tần số: 0^2 × 3 + 1^2 × 5 + 2^2 × 8 + 3^2 × 4 = 0 + 5 + 32 + 36 = 73.
- Áp dụng công thức rút gọn: phương sai bằng 73/20 − 1,65^2 = 3,65 − 2,7225 = 0,9275.
- Độ lệch chuẩn bằng căn bậc hai của 0,9275, xấp xỉ 0,96 lần mỗi tuần.
Lỗi phổ biến ở dạng này là quên nhân bình phương với tần số, tức là cộng 0 + 1 + 4 + 9 = 14 rồi chia cho 4 hay cho 20. Một cách kiểm: nhập bảng vào chế độ thống kê có cột tần số của máy tính cầm tay; nếu máy cho σx xấp xỉ 0,963 thì bạn đã đúng. Nếu máy cho số khác, kiểm xem cột tần số đã được bật và nhập đúng chưa trước khi nghi ngờ phép tính của mình.
Ba tính chất giúp tự kiểm kết quả
Phương sai và độ lệch chuẩn không bao giờ âm. Chúng bằng 0 khi và chỉ khi mọi giá trị bằng nhau. Kết quả âm là dấu hiệu chắc chắn của một bước tính sai.
Cộng cùng một số vào mọi giá trị thì độ lệch chuẩn không đổi. Nếu nơi A mỗi ngày nóng thêm 2 độ, dãy thành 32, 33, 34, 35, 36, số trung bình tăng lên 34 nhưng độ lệch chuẩn vẫn xấp xỉ 1,41, vì các độ lệch so với số trung bình vẫn y nguyên. Đây là cách kiểm hay khi một bài cho số liệu lớn: trừ bớt một số tròn cho dễ tính.
Nhân mọi giá trị với k thì độ lệch chuẩn nhân với giá trị tuyệt đối của k, phương sai nhân với k^2. Đổi đơn vị từ mét sang xentimét là nhân với 100, nên độ lệch chuẩn cũng nhân 100 và phương sai nhân 10 000. Nếu bạn đổi đơn vị mà phương sai chỉ nhân 100, có bước nào đó sai.
Độ lệch chuẩn không vượt quá khoảng biến thiên. Một độ lệch chuẩn lớn hơn cả hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là không thể. Nhìn qua là loại được nhiều đáp số vô lý.
Nhờ AI hiểu ý nghĩa, còn phép tính để máy tính
Chatbot giải thích ý nghĩa khá tốt nhưng tính phương sai với dãy dài thì hay sai: cộng nhầm bình phương, làm tròn số trung bình quá sớm, hoặc lặng lẽ chia cho n − 1. Dùng AI cho đúng phần việc của nó:
- "Em học lớp 10. Giải thích bằng một ví dụ đời thường vì sao phải bình phương các độ lệch chứ không cộng trực tiếp. Không dùng số liệu bài tập của em."
- "Em có bảng độ lệch và bình phương như sau. Hãy kiểm từng dòng, chỉ báo dòng nào sai, không làm lại cả bài."
- "Hai lớp có cùng điểm trung bình môn thể dục giả định nhưng độ lệch chuẩn khác nhau. Gợi ý cho em ba câu hỏi để tự diễn giải sự khác nhau đó, không viết sẵn câu trả lời."
- Khi AI đưa ra con số, luôn hỏi lại: "Bạn chia cho n hay n − 1?", rồi tự tính lại bằng máy tính cầm tay ở đúng chế độ.
- Nếu dùng số liệu thật của lớp, chỉ dán cột số, không dán tên; và không dùng điểm số của bạn bè làm ví dụ, vì dễ dẫn đến so sánh không cần thiết.
Phần diễn giải ý nghĩa, như "nơi B có thời tiết thất thường hơn", là phần bài học muốn bạn tự viết. Tập viết một câu diễn giải có số liệu đi kèm sau mỗi bài tính, dù đề không hỏi.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao không lấy trung bình của giá trị tuyệt đối các độ lệch cho đơn giản?
Đại lượng đó có tồn tại và gọi là độ lệch tuyệt đối trung bình. Phương sai được dùng rộng rãi hơn vì có nhiều tính chất đại số thuận tiện, chẳng hạn cộng được trong một số trường hợp và liên hệ chặt với các mô hình xác suất học ở bậc cao hơn.
Độ lệch chuẩn lớn là tốt hay xấu?
Không tốt không xấu, tuỳ câu hỏi. Một nhà máy muốn sản phẩm đồng đều sẽ thích độ lệch chuẩn nhỏ; một khảo sát muốn thấy sự đa dạng ý kiến thì độ lệch chuẩn lớn chỉ là đặc điểm của dữ liệu. Diễn giải luôn gắn với bối cảnh.
Có thể so sánh độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu có đơn vị khác nhau không?
Không so trực tiếp được, vì độ lệch chuẩn mang đơn vị của số liệu. So chiều cao tính bằng xentimét với cân nặng tính bằng kilôgam là vô nghĩa. Ở bậc cao hơn người ta dùng các đại lượng không đơn vị, như tỉ số giữa độ lệch chuẩn và số trung bình.
Máy tính cầm tay của em không có nút σx thì làm sao?
Mỗi dòng máy đặt chức năng thống kê ở vị trí khác nhau, thường trong một chế độ riêng và một menu kết quả. Xem sách hướng dẫn đi kèm máy hoặc hỏi giáo viên. Cách thử chắc chắn là nhập dãy 30, 31, 32, 33, 34 và xem dòng nào cho xấp xỉ 1,41.
Nếu số liệu có giá trị ngoại lệ thì độ lệch chuẩn bị ảnh hưởng thế nào?
Bị ảnh hưởng mạnh, vì độ lệch được bình phương nên một giá trị nằm rất xa đóng góp rất lớn vào tổng. Khi có ngoại lệ, khoảng tứ phân vị thường mô tả độ tản của phần lớn dữ liệu tốt hơn độ lệch chuẩn.