Dùng quy tắc cộng khi công việc được hoàn thành bằng một trong nhiều phương án tách rời nhau; dùng quy tắc nhân khi công việc gồm nhiều công đoạn nối tiếp, mỗi công đoạn có một số cách làm. Câu hỏi để chọn là: làm xong việc bằng cách này hoặc cách kia, hay phải làm bước này rồi bước kia?
Hai quy tắc này là nền móng của toàn bộ phần đếm và xác suất ở lớp 10: hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp đều xây trên chúng. Học sinh hiếm khi sai công thức, mà sai vì chọn nhầm cộng với nhân, đếm trùng một trường hợp hai lần hoặc bỏ sót một trường hợp. Bài này đi qua các ví dụ từ dễ đến khó, cách vẽ sơ đồ cây, hai cách tự kiểm, và những chỗ AI cũng mắc đúng các lỗi đó. Mọi kết quả đã được đếm lại.
Quy tắc cộng: các phương án tách rời
Ví dụ: từ nhà đến trường có 2 tuyến xe buýt và 3 con đường đi xe đạp. Bạn đi đến trường bằng một tuyến xe buýt hoặc một con đường xe đạp, không làm cả hai cùng lúc. Số cách đi là 2 + 3 = 5.
Điều kiện then chốt là các phương án không trùng nhau. Nếu có một cách được đếm ở cả hai nhóm, cộng thẳng sẽ đếm nó hai lần. Ví dụ: trong lớp có 15 bạn thích bóng đá và 12 bạn thích cầu lông, hỏi có bao nhiêu bạn thích ít nhất một môn. Nếu có 5 bạn thích cả hai, câu trả lời là 15 + 12 − 5 = 22, không phải 27. Đây là dạng mở rộng của quy tắc cộng cho hai tập hợp có phần chung.
Dấu hiệu nhận ra quy tắc cộng trong đề: các từ "hoặc", "một trong", và tình huống chia thành các trường hợp không chồng lên nhau, chẳng hạn chữ số cuối là 0 và chữ số cuối khác 0. Khi bạn chia một bài toán thành các trường hợp, bước cuối luôn là cộng kết quả các trường hợp, nên phải chắc chắn các trường hợp đó vừa phủ hết vừa không chồng nhau.
Quy tắc nhân: các công đoạn nối tiếp
Ví dụ giả định: bạn có 3 chiếc áo và 4 chiếc quần. Một bộ trang phục gồm chọn áo rồi chọn quần. Mỗi cách chọn áo đi với 4 cách chọn quần, nên có 3 × 4 = 12 bộ. Bạn có thể bày ra trên giường và đếm thật; làm một lần là nhớ vì sao nhân.
Quy tắc nhân áp dụng được khi số cách làm ở công đoạn sau không phụ thuộc vào cách đã chọn ở công đoạn trước, dù tập lựa chọn cụ thể có thể thay đổi. Ví dụ: ổ khoá số có 3 vòng, mỗi vòng có các chữ số từ 0 đến 9, nên có 10 × 10 × 10 = 1000 mã. Nếu yêu cầu ba chữ số khác nhau thì là 10 × 9 × 8 = 720: chữ số được chọn ở vòng hai tuỳ vòng một, nhưng số lựa chọn luôn là 9.
Một ví dụ đẹp nối với số học: số 360 phân tích ra thừa số nguyên tố là 2^3 × 3^2 × 5. Mỗi ước của 360 có dạng 2^a × 3^b × 5^c, với a chọn từ 0 đến 3 (4 cách), b từ 0 đến 2 (3 cách), c từ 0 đến 1 (2 cách). Theo quy tắc nhân, 360 có 4 × 3 × 2 = 24 ước nguyên dương. Bạn có thể liệt kê để kiểm; đó là bài luyện kiên nhẫn đáng làm một lần.
Kết hợp cả hai: bài đếm số chẵn có ba chữ số khác nhau
Đề: có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số đôi một khác nhau? Đây là dạng mà gần như ai cũng sai lần đầu, vì chữ số 0 vừa không được đứng đầu vừa là chữ số chẵn.
- Nhận ra điểm vướng: chữ số hàng đơn vị phải chẵn, chữ số hàng trăm phải khác 0. Nếu hàng đơn vị là 0 thì hàng trăm thoải mái hơn; nếu không thì hàng trăm bị loại thêm một chữ số. Vì vậy chia hai trường hợp.
- Trường hợp 1, hàng đơn vị là 0: hàng trăm có 9 cách (1 đến 9), hàng chục còn 8 cách. Theo quy tắc nhân: 9 × 8 = 72 số.
- Trường hợp 2, hàng đơn vị là 2, 4, 6 hoặc 8: có 4 cách chọn. Hàng trăm khác 0 và khác chữ số hàng đơn vị: 8 cách. Hàng chục khác hai chữ số đã dùng: 8 cách. Được 4 × 8 × 8 = 256 số.
- Hai trường hợp tách rời và phủ hết, nên theo quy tắc cộng: 72 + 256 = 328 số.
- Tự kiểm bằng phần bù: số có ba chữ số khác nhau là 9 × 9 × 8 = 648. Số lẻ có ba chữ số khác nhau: hàng đơn vị 5 cách (1, 3, 5, 7, 9), hàng trăm 8 cách, hàng chục 8 cách, được 320. Số chẵn là 648 − 320 = 328, khớp.
Thứ tự chọn quan trọng: chọn chữ số bị ràng buộc nhiều nhất trước. Nếu chọn hàng trăm trước rồi mới tới hàng đơn vị, số cách chọn hàng đơn vị sẽ phụ thuộc vào việc hàng trăm đã lấy một chữ số chẵn hay lẻ, và quy tắc nhân không áp dụng thẳng được nữa.
Quy tắc nhân trong đời sống: vì sao mật khẩu dài an toàn hơn
Quy tắc nhân giải thích một lời khuyên quen thuộc: đặt mật khẩu dài và đa dạng ký tự. Mã mở khoá gồm 4 chữ số có 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000 khả năng. Thêm hai chữ số nữa thành 6 chữ số, số khả năng là 10^6, tức một triệu, gấp một trăm lần. Mỗi ký tự thêm vào nhân số khả năng lên chứ không cộng thêm, nên độ dài tăng một chút là khó đoán hơn rất nhiều.
Nếu mỗi vị trí được chọn từ 26 chữ cái thường, một mật khẩu 8 ký tự có 26^8 khả năng, xấp xỉ 209 tỉ. Cho phép thêm chữ hoa và chữ số thì mỗi vị trí có 62 lựa chọn, con số còn lớn hơn rất nhiều. Đây là phép tính thuần tuý về số khả năng; mật khẩu thật còn yếu đi nếu là ngày sinh hay chữ dễ đoán, vì người ta không đoán ngẫu nhiên mà đoán những thứ phổ biến trước.
Bạn có thể tự đặt các câu hỏi tương tự từ đời sống: một quán có bao nhiêu cách phối món nếu chọn một món chính, một món phụ, một đồ uống; một lớp có bao nhiêu cách xếp lịch trực nhật cho ba ngày nếu mỗi ngày một tổ. Nhờ AI nghĩ ra tình huống thì được, nhưng phép đếm để bạn tự làm, rồi mới hỏi lại để đối chiếu.
Sơ đồ cây: thấy hết các khả năng trước khi tính
Khi số khả năng còn nhỏ, sơ đồ cây là công cụ tốt nhất để hiểu vì sao nhân. Từ một gốc, vẽ các nhánh cho công đoạn thứ nhất; từ mỗi nhánh, vẽ tiếp các nhánh cho công đoạn thứ hai. Số "lá" ở tầng cuối chính là số kết quả. Với ví dụ áo quần, gốc tách 3 nhánh áo, mỗi nhánh tách 4 nhánh quần, được 12 lá.
Sơ đồ cây còn cho thấy khi nào quy tắc nhân không dùng thẳng được: nếu các nhánh ở tầng hai có số lượng khác nhau, bạn phải cộng theo từng nhánh. Ví dụ giả định: chọn một món chính rồi một món tráng miệng, nhưng món chính thứ ba chỉ đi kèm được hai trong bốn món tráng miệng. Cây sẽ có 4 + 4 + 2 = 10 lá, không phải 3 × 4 = 12.
Thói quen nên có: với bài mới, vẽ cây cho một phiên bản nhỏ của đề, chẳng hạn thay ba chữ số bằng hai chữ số, đếm tay, rồi so với công thức bạn định dùng. Nếu công thức cho kết quả khác với số lá đếm được, công thức sai. Phần mềm hình học động hay bảng tính không cần thiết ở đây; giấy nháp và bút chì là đủ.
Lỗi đếm hay gặp ở cả học sinh lẫn AI
Đếm trùng do chọn "một cái đặc biệt trước". Đề: chọn 3 bạn từ 6 nữ và 8 nam sao cho có ít nhất một nữ. Lời giải sai: chọn 1 nữ trước có 6 cách, rồi chọn 2 người bất kỳ từ 13 người còn lại, được 6 × 78 = 468. Kết quả đúng là 308, vì nhóm có hai nữ bị đếm hai lần, nhóm có ba nữ bị đếm ba lần. AI mắc lỗi này khá thường xuyên và trình bày rất thuyết phục.
Nhân khi đáng lẽ phải cộng. Đi từ A đến C có thể qua B (3 đường A đến B, 2 đường B đến C) hoặc đi thẳng (2 đường). Số cách là 3 × 2 + 2 = 8. Viết thành 3 × 2 × 2 = 12 là coi đường thẳng như một công đoạn nữa.
Quên điều kiện chữ số 0 không đứng đầu. Gặp liên tục trong bài đếm số tự nhiên. Kiểm bằng cách tự hỏi: số 052 có phải số có ba chữ số không?
Chia trường hợp chồng nhau hoặc thiếu. Sau khi chia, liệt kê lại: mỗi kết quả có thuộc đúng một trường hợp không? Có kết quả nào không thuộc trường hợp nào không?
Không kiểm bằng phần bù. Bài "ít nhất một" gần như luôn có cách tính phần bù nhanh hơn. Làm cả hai cách, khớp thì yên tâm.
Câu lệnh mẫu khi học đếm cùng AI
Bài đếm hợp với kiểu hỏi "kiểm giúp lập luận" hơn là "giải giúp". Một số câu lệnh mẫu:
- "Em học lớp 10. Bài này nên dùng quy tắc cộng hay quy tắc nhân, hay cả hai? Chỉ trả lời bằng một câu hỏi gợi ý, không giải."
- "Đây là cách em chia trường hợp. Hãy kiểm xem các trường hợp có chồng lên nhau hoặc bỏ sót không, chỉ ra một ví dụ cụ thể nếu có."
- "Hãy thu nhỏ bài toán này thành phiên bản đủ nhỏ để em liệt kê bằng tay, không giải bản gốc."
- "Lời giải sau ra 468, đáp án là 308. Đừng giải lại, chỉ cho em một nhóm cụ thể bị đếm hai lần."
Câu lệnh cuối đặc biệt hữu ích: bắt AI chỉ ra một trường hợp cụ thể bị đếm trùng buộc nó phải đưa ví dụ kiểm chứng được, và bạn tự kiểm ví dụ đó trên giấy. Nếu AI nói một kết quả đúng là sai, hay ngược lại, ví dụ cụ thể sẽ lộ ra ngay.
Câu hỏi thường gặp
Làm sao biết một bài là đếm theo công đoạn hay theo trường hợp?
Hỏi: để có một kết quả hoàn chỉnh, mình phải làm một việc hay nhiều việc liên tiếp? Nhiều việc liên tiếp là công đoạn, dùng nhân. Còn nếu có những cách hoàn thành khác nhau về bản chất, không thể cùng xảy ra, đó là trường hợp, dùng cộng.
Quy tắc nhân có áp dụng được khi số cách ở bước sau thay đổi không?
Áp dụng được khi số cách ở bước sau không đổi, dù tập lựa chọn cụ thể thay đổi. Nếu chính số cách thay đổi tuỳ lựa chọn trước, phải chia trường hợp rồi cộng, hoặc đổi thứ tự chọn để bước bị ràng buộc nhiều nhất làm trước.
Khi nào nên đếm phần bù?
Khi đề có cụm "ít nhất một", "không quá", hoặc khi số trường hợp cần đếm trực tiếp nhiều hơn hẳn số trường hợp bị loại. Đếm tất cả trừ đi phần không thoả mãn thường ngắn hơn và ít sai hơn.
Có nên nhờ AI liệt kê hết các trường hợp để kiểm không?
Với số trường hợp nhỏ thì được, nhưng AI hay bỏ sót hoặc lặp khi liệt kê dài. Bảng tính là công cụ tốt hơn để liệt kê có hệ thống. Tốt nhất vẫn là bạn tự liệt kê phiên bản thu nhỏ của bài.
Quy tắc cộng mở rộng cho ba tập hợp có phần chung thế nào?
Cộng ba tập, trừ ba phần giao đôi một, rồi cộng lại phần giao của cả ba. Đây là nguyên lý bao hàm và loại trừ, thường gặp trong tài liệu nâng cao hơn chương trình cơ bản, nên bạn có thể tìm hiểu thêm nếu thấy hứng thú.