Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân chiều cao, V = B nhân h; thể tích khối chóp bằng một phần ba tích đó, V = B nhân h chia 3. Công thức ngắn, nhưng phần lớn bài thể tích không khó ở phép nhân mà khó ở việc tìm h, khoảng cách từ đỉnh tới mặt phẳng đáy. Muốn tìm đúng h phải chứng minh được một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Bài này giải thích vì sao có hệ số một phần ba, điều kiện để một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ba kiểu hình chóp hay gặp và cách xác định chân đường cao ở mỗi kiểu, hai ví dụ tính có kiểm lại, cách tìm góc giữa cạnh bên và đáy, cùng các lỗi mà học sinh và chatbot hay mắc. Nội dung thuộc mạch hình học không gian phổ thông, dùng nhiều ở lớp 11 và các bài tổng hợp lớp 12.
Vì sao khối chóp bằng một phần ba khối lăng trụ
Lăng trụ thì dễ hình dung: chồng nhiều lớp mỏng giống hệt đáy lên nhau, chiều cao h, nên thể tích bằng diện tích đáy nhân h, như xếp chồng giấy. Khối chóp thì mỗi lớp nhỏ dần về đỉnh, nên thể tích phải nhỏ hơn. Câu hỏi là nhỏ hơn bao nhiêu, và câu trả lời một phần ba có thể thấy theo hai cách.
Cách thực nghiệm: làm một hình chóp rỗng và một hình lăng trụ rỗng bằng nhựa trong hoặc bìa cứng, cùng đáy, cùng chiều cao. Đổ đầy cát hay gạo vào hình chóp rồi trút sang lăng trụ; sau đúng ba lần, lăng trụ đầy. Đây là hoạt động dễ làm ở nhà hoặc trên lớp, và giúp học sinh nhớ hệ số một phần ba lâu hơn mọi câu thuộc lòng.
Cách hình học: một khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể cắt thành ba khối tứ diện A’.ABC, B.A’B’C’ và A’.BCC’. Hai khối đầu có đáy bằng nhau và chiều cao bằng nhau nên thể tích bằng nhau. Khối thứ ba và khối thứ hai có chung đỉnh A’, còn hai đáy BCC’ và BB’C’ là hai nửa của hình bình hành BCC’B’, nên cũng cùng diện tích đáy và cùng chiều cao. Ba khối bằng nhau về thể tích, nên mỗi khối bằng một phần ba lăng trụ. Lập luận này dựa trên nguyên lý “cùng đáy, cùng chiều cao thì cùng thể tích”, được thừa nhận ở mức phổ thông.
Khi nào một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng
Định nghĩa. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) khi d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P). Định nghĩa này dùng để suy ra, không dùng để chứng minh, vì không ai kiểm được mọi đường thẳng.
Dấu hiệu dùng để chứng minh. Nếu d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong (P) thì d vuông góc với (P). Hai chữ “cắt nhau” là bắt buộc: vuông góc với hai đường song song thì chưa đủ.
Chiều ngược lại dùng để suy ra. Đã biết d vuông góc với (P) thì d vuông góc với mọi đường thẳng trong (P), kể cả đường không vẽ sẵn trên hình. Phần lớn lời giải là chuỗi luân phiên: chứng minh vuông góc với mặt phẳng, rồi suy ra vuông góc với một đường mới, rồi dùng đường đó chứng minh vuông góc với mặt phẳng khác.
Ví dụ chuỗi suy luận kinh điển. Hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, tam giác ABC vuông tại B. Vì SA vuông góc với đáy nên SA vuông góc BC. BC còn vuông góc AB. Hai đường SA và AB cắt nhau trong mặt (SAB), nên BC vuông góc với mặt (SAB), suy ra BC vuông góc SB. Tam giác SBC vuông tại B, điều không nhìn thấy được trên hình phẳng.
Đừng tin góc trên hình vẽ. Hình không gian vẽ trên giấy là hình chiếu, các góc vuông thật thường trông nhọn hoặc tù, còn góc trông vuông có khi không vuông. Mọi khẳng định vuông góc phải có lý do bằng chữ.
Ba kiểu hình chóp hay gặp và chân đường cao nằm ở đâu
Phần lớn bài thể tích ở phổ thông rơi vào một trong ba kiểu dưới đây. Nhận ra kiểu hình ngay từ đề là đã giải được một nửa.
| Kiểu hình | Dấu hiệu trong đề | Đường cao h |
|---|---|---|
| Cạnh bên vuông góc với đáy | “SA vuông góc với mặt phẳng đáy” | Chính là SA, chân đường cao là A |
| Hình chóp đều | “Hình chóp tam giác đều” hoặc “tứ giác đều” | Từ S xuống tâm đáy: trọng tâm tam giác đều, hoặc giao hai đường chéo hình vuông |
| Mặt bên vuông góc với đáy | “Mặt bên SAB vuông góc với mặt đáy” | Kẻ từ S đường vuông góc với giao tuyến AB, nằm trong mặt SAB |
| Lăng trụ đứng | “Lăng trụ đứng”, cạnh bên vuông góc đáy | Chính là cạnh bên |
| Lăng trụ xiên | Cho hình chiếu của một đỉnh trên đáy | Đoạn từ đỉnh đó tới hình chiếu, không phải cạnh bên |
Kiểu thứ ba dựa trên một định lý: hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì đường thẳng nằm trong mặt này và vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt kia. Ví dụ hình chóp có mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy, thì đường cao là trung tuyến từ S của tam giác SAB, chân đường cao là trung điểm AB, không phải tâm đáy.
Với lăng trụ xiên, lỗi kinh điển là lấy cạnh bên làm chiều cao. Cạnh bên nghiêng nên luôn dài hơn đường cao; dùng nhầm sẽ ra thể tích lớn hơn thật.
Hai ví dụ tính có kiểm lại
Các số liệu dưới đây là ví dụ giả định, đã được tính lại. Làm theo thứ tự: xác định kiểu hình, chứng minh đường cao, tính diện tích đáy, rồi mới nhân.
- Ví dụ 1: hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, tam giác ABC vuông tại B, AB = 3, BC = 4, SA = 6. Kiểu hình thứ nhất, nên h = SA = 6.
- Diện tích đáy bằng một nửa nhân 3 nhân 4, bằng 6. Thể tích bằng 6 nhân 6 chia 3, bằng 12 đơn vị thể tích.
- Kiểm bằng cách đổi đáy: theo chuỗi suy luận ở mục trước, BC vuông góc với mặt (SAB), nên có thể coi C là đỉnh, tam giác SAB là đáy. Diện tích SAB bằng một nửa nhân 3 nhân 6, bằng 9; chiều cao CB = 4; thể tích bằng 9 nhân 4 chia 3, bằng 12. Khớp.
- Ví dụ 2: hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy 6, cạnh bên 5. Gọi O là tâm hình vuông đáy; SO là đường cao vì hình chóp đều.
- Nửa đường chéo đáy OA bằng 6 căn 2 chia 2, bằng 3 căn 2. Trong tam giác SOA vuông tại O: SO bình phương bằng 25 − 18 = 7, nên SO = căn 7, xấp xỉ 2,65.
- Thể tích bằng 36 nhân căn 7 chia 3, bằng 12 căn 7, xấp xỉ 31,75. Kiểm hợp lý: đường cao phải ngắn hơn cạnh bên, và căn 7 nhỏ hơn 5, ổn.
Bước kiểm ở ví dụ 1 đáng tập thành thói quen: tính thể tích hai lần với hai cách chọn đáy khác nhau. Nếu hai kết quả khác nhau, chắc chắn có một đường cao bị chọn sai, và thường là đường cao đó không thật sự vuông góc với đáy đã chọn.
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy
Nhiều đề không cho chiều cao mà cho góc giữa một cạnh bên và mặt đáy, rồi yêu cầu tính thể tích. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng. Vì vậy trước khi nói tới góc, phải biết chân đường cao, tức phải làm xong bước tìm đường cao ở trên.
Lấy lại ví dụ 1 và đổi đề: chưa biết SA, chỉ biết góc giữa SC và mặt đáy là alpha. Vì SA vuông góc với đáy, hình chiếu của SC lên đáy là AC, nên góc cần xét là góc SCA. Với AB = 3, BC = 4, ta có AC = 5. Nếu SA = 6 như cũ thì tan của góc SCA bằng 6 chia 5, góc xấp xỉ 50,2 độ. Ngược lại, nếu đề cho góc này là 45 độ thì SA = AC = 5 và thể tích bằng 6 nhân 5 chia 3, bằng 10.
Lỗi hay gặp là lấy góc SCB hoặc góc SBC thay cho góc SCA, vì trên hình phẳng chúng trông giống nhau. Câu hỏi kiểm là: đoạn nối chân cạnh bên với chân đường cao có nằm trong mặt đáy không. Ở đây AC nằm trong đáy và A là chân đường cao, nên AC đúng là hình chiếu. Bài toán góc giữa hai mặt phẳng, khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng cũng đi theo đúng tinh thần đó: dựng hình chiếu trước, đo sau.
Phần mềm 3D và AI: dùng ở đâu, tin tới đâu
Phần mềm hình học động có chế độ ba chiều cho phép dựng hình chóp từ toạ độ hoặc từ các điểm, xoay hình tự do và đo góc, đo thể tích. Lợi ích lớn nhất là xoay hình đến góc nhìn mà góc vuông hiện ra đúng là vuông, điều hình vẽ trên giấy không làm được. Khi chưa tin BC vuông góc với SB trong ví dụ 1, dựng hình rồi đo góc SBC là thấy 90 độ, sau đó quay lại viết chứng minh bằng chữ.
Chatbot giải thích chuỗi suy luận vuông góc khá trôi chảy, nhưng hay mắc ba lỗi. Thứ nhất, giả định chân đường cao nằm ở tâm đáy cho mọi hình chóp, kể cả khi đề cho mặt bên vuông góc với đáy. Thứ hai, quên hệ số một phần ba hoặc lấy diện tích hình vuông cho đáy tam giác. Thứ ba, khẳng định hai đường vuông góc “vì nhìn hình”, nhất là khi đề được gửi bằng ảnh.
Câu lệnh nên dùng: “Đề: (chép đề bằng chữ). Em cho rằng đường cao là SH với H là (vị trí). Hãy kiểm lý do em đưa ra có đủ không, đặc biệt là hai đường cắt nhau trong mặt đáy. Không tính thể tích.” Sau đó tự tính thể tích, và nếu muốn đối chiếu, nhờ AI tính theo một cách chọn đáy khác để so. Hai cách cho cùng một số mới là kết quả đáng tin.
Câu hỏi thường gặp
Thể tích khối chóp cụt tính thế nào?
Khối chóp cụt có thể tính bằng thể tích khối chóp lớn trừ thể tích khối chóp nhỏ bị cắt đi ở đỉnh. Cách này chỉ cần công thức một phần ba quen thuộc và tỉ số đồng dạng giữa hai đáy. Sách giáo khoa cũng có công thức riêng cho chóp cụt; bạn nên hiểu cách trừ trước khi dùng công thức.
Diện tích đáy là tam giác đều cạnh a thì nhớ thế nào?
Diện tích tam giác đều cạnh a bằng a^2 nhân căn 3 chia 4. Có thể tự dựng lại: đường cao tam giác đều bằng a căn 3 chia 2, nhân với cạnh đáy a rồi chia 2. Đây là diện tích đáy gặp nhiều nhất trong bài hình chóp tam giác đều.
Vì sao vuông góc với hai đường song song trong mặt phẳng vẫn chưa đủ?
Hai đường song song chỉ cho một phương trong mặt phẳng. Một đường thẳng có thể vuông góc với phương đó mà vẫn nghiêng so với mặt phẳng, giống như một cây gậy nghiêng sang bên vẫn vuông góc với mép bàn. Cần hai phương khác nhau, tức hai đường cắt nhau, mới khoá được hướng của đường thẳng.
Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao ở đâu?
Khi các cạnh bên bằng nhau, chân đường cao cách đều các đỉnh đáy, nên là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. Với đáy tam giác vuông, đó là trung điểm cạnh huyền; với đáy hình chữ nhật, đó là giao hai đường chéo. Đây là kiểu hình mở rộng của hình chóp đều.
Có thể dùng toạ độ để tính thể tích không?
Có. Khi đặt được hình vào hệ trục toạ độ không gian, nhiều bài thể tích, góc, khoảng cách trở thành tính toán. Cách này hợp với hình có sẵn ba cạnh vuông góc đôi một. Tuy vậy nên nắm cách tìm đường cao bằng quan hệ vuông góc trước, vì nhiều đề được thiết kế để giải bằng hình học tổng hợp.
Làm mô hình hình chóp ở nhà bằng gì để kiểm công thức một phần ba?
Bìa cứng, giấy bìa màu hoặc nhựa trong đều dùng được. Vẽ hình khai triển gồm đáy và các mặt bên, cắt, gấp và dán kín các mép trừ đáy. Làm thêm một lăng trụ cùng đáy cùng cao rồi đổ cát hoặc gạo để so. Trẻ nhỏ làm cùng người lớn khi dùng dao rọc giấy.