Một phân số tối giản có mẫu dương viết được thành số thập phân hữu hạn khi mẫu không có ước nguyên tố nào khác 2 và 5; nếu mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5, phân số đó viết thành số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ví dụ 3/8 = 0,375 là hữu hạn, còn 1/3 = 0,333... là vô hạn tuần hoàn với chu kỳ 3, viết gọn là 0,(3).
Phần này nằm trong mạch số hữu tỉ và số thực ở THCS. Nó trả lời câu hỏi mà nhiều học sinh từng thắc mắc khi bấm máy tính: vì sao có phép chia ra số gọn, có phép chia ra dãy chữ số dài mãi. Bài dưới đây giải thích lý do bằng phép chia tay, cách tìm chu kỳ, cách đổi ngược ra phân số, và cái bẫy làm tròn trên màn hình máy tính.
Vì sao có phép chia dừng, có phép chia chạy mãi
Khi chia 3 cho 8 bằng tay, các số dư lần lượt là 6, 4, rồi 0, và phép chia dừng lại: 3/8 = 0,375. Khi chia 1 cho 3, số dư lần nào cũng là 1, nên chữ số 3 lặp lại mãi. Khi chia 2 cho 11, các số dư lần lượt là 2, 9, rồi lại 2, 9, nên cặp chữ số 18 lặp lại: 2/11 = 0,181818... Học sinh tự chia tay vài phép như vậy sẽ thấy một điều quan trọng: số dư luôn nhỏ hơn số chia, nên chỉ có hữu hạn khả năng. Nếu không gặp số dư 0, sớm muộn một số dư sẽ lặp lại, và từ đó các chữ số cũng lặp lại theo.
Lý do mẫu chỉ có ước 2 và 5 thì chia hết nằm ở hệ thập phân. Số thập phân hữu hạn là phân số có mẫu là 10, 100, 1000 và tiếp tục, mà 10 = 2 × 5. Một phân số tối giản đổi được về mẫu như vậy khi và chỉ khi mẫu của nó chỉ gồm thừa số 2 và 5. Ví dụ 7/20: 20 = 2^2 × 5, nhân cả tử và mẫu với 5 được 35/100 = 0,35. Còn 1/3 thì không có cách nào nhân 3 lên thành một luỹ thừa của 10.
Lưu ý chữ "tối giản" trong quy tắc. Phân số 3/6 có mẫu chứa thừa số 3, nhưng rút gọn thành 1/2 thì mẫu chỉ còn 2, nên 3/6 = 0,5 là số thập phân hữu hạn. Nhiều học sinh kết luận sai vì xét mẫu trước khi rút gọn.
Nhận biết nhanh qua mẫu số
Bảng dưới gồm các ví dụ đã chia lại bằng tay. Học sinh nên che cột cuối, tự dự đoán theo mẫu số rồi mới mở ra đối chiếu.
| Phân số tối giản | Phân tích mẫu | Loại | Viết thập phân |
|---|---|---|---|
| 3/8 | 2^3 | Hữu hạn | 0,375 |
| 7/20 | 2^2 × 5 | Hữu hạn | 0,35 |
| 1/3 | 3 | Vô hạn tuần hoàn | 0,(3) |
| 5/6 | 2 × 3 | Vô hạn tuần hoàn | 0,8(3) |
| 2/11 | 11 | Vô hạn tuần hoàn | 0,(18) |
| 1/7 | 7 | Vô hạn tuần hoàn | 0,(142857) |
Dòng 5/6 minh hoạ loại tuần hoàn có phần không lặp đứng trước: chữ số 8 xuất hiện một lần rồi mới đến chu kỳ 3. Đây là trường hợp mẫu vừa có thừa số 2 hoặc 5, vừa có thừa số khác. Dòng 1/7 cho thấy chu kỳ có thể dài: sáu chữ số 142857 lặp lại. Chu kỳ của 1/13 là 076923, cũng sáu chữ số.
Cách viết chu kỳ trong ngoặc, như 0,(18), là quy ước của sách giáo khoa Việt Nam. Một số tài liệu nước ngoài dùng gạch ngang trên đầu chu kỳ; hai cách cùng một nghĩa.
Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số
Ý tưởng là nhân với một luỹ thừa của 10 để hai số có cùng phần đuôi lặp lại, rồi trừ cho phần đuôi biến mất. Ví dụ với 0,(18):
- Đặt x = 0,181818...
- Chu kỳ dài 2 chữ số, nên nhân với 100: 100x = 18,181818...
- Trừ hai đẳng thức: 100x − x = 18, tức 99x = 18.
- Suy ra x = 18/99, rút gọn chia cả tử và mẫu cho 9 được 2/11.
- Kiểm bằng phép chia tay hoặc máy tính: 2 : 11 = 0,1818..., khớp.
Với loại có phần không lặp như 0,8(3), cần thêm một bước. Đặt x = 0,8333... Nhân với 10 để đưa phần không lặp lên trước dấu phẩy: 10x = 8,333... Nhân với 100: 100x = 83,333... Trừ: 100x − 10x = 83 − 8 = 75, nên 90x = 75 và x = 75/90 = 5/6. Kiểm: 5 : 6 = 0,8333..., khớp với bảng ở trên.
Từ cách làm này rút ra quy tắc nhanh cho loại không có phần không lặp: chu kỳ đặt lên tử, mẫu là các chữ số 9 với số lượng bằng số chữ số của chu kỳ. 0,(3) = 3/9 = 1/3; 0,(18) = 18/99 = 2/11; 0,(142857) = 142857/999999 = 1/7. Học sinh nên hiểu cách trừ trước rồi mới dùng quy tắc nhanh, để không áp nhầm sang loại có phần không lặp.
Câu hỏi gây tranh cãi: 0,(9) có bằng 1 không
Áp dụng đúng cách vừa học: đặt x = 0,999..., nhân 10 được 10x = 9,999..., trừ đi được 9x = 9, nên x = 1. Nhiều học sinh không chịu, vì thấy 0,999... "lúc nào cũng thiếu một chút". Đây là câu hỏi rất đáng để thảo luận trên lớp hoặc ở nhà, vì nó cho thấy số thập phân vô hạn là một khái niệm khác với dãy chữ số mình viết tay.
Một lập luận khác dễ chấp nhận hơn: 1/3 = 0,333..., nhân cả hai vế với 3 được 1 = 0,999... Hoặc: nếu 0,999... nhỏ hơn 1, thì giữa chúng phải có một số nằm ở giữa, nhưng không thể chỉ ra số nào như vậy. Vì thế 0,(9) và 1 là hai cách viết của cùng một số. Đó cũng là lý do sách giáo khoa không dùng chu kỳ 9.
Đây là chủ đề tốt để học sinh trò chuyện với AI theo kiểu tranh luận: "Em không tin 0,999... bằng 1. Hãy thuyết phục em bằng ba cách khác nhau, rồi để em phản biện." Học sinh được luyện lập luận, còn kiến thức nền vẫn là phần các em đã tự làm bằng phép trừ ở trên.
Bẫy của máy tính cầm tay và bảng tính
Màn hình chỉ hiện một số chữ số rồi làm tròn. Bấm 2 : 3 nhiều máy hiện 0,6666666667 với chữ số cuối là 7. Đó là làm tròn hiển thị, không phải 2/3 kết thúc bằng 7. Học sinh mới học dễ ghi nguyên dãy này vào bài như thể đó là giá trị đúng.
Chu kỳ dài không hiện đủ. Với 1/17, chu kỳ dài 16 chữ số, màn hình máy tính thông thường không chứa hết một chu kỳ. Muốn thấy chu kỳ thì phải chia tay hoặc dùng công cụ hiện nhiều chữ số hơn.
Máy có thể tự đổi về phân số. Nhiều dòng máy có phím chuyển qua lại giữa dạng phân số và dạng thập phân. Đây là công cụ kiểm rất tốt cho bài đổi số thập phân tuần hoàn ra phân số, nhưng bạn cần kiểm hướng dẫn của đúng dòng máy mình dùng.
Bảng tính lưu số gần đúng. Ô bảng tính chứa 1/3 thực ra lưu một số gần đúng với khoảng mười lăm chữ số có nghĩa. Với bài lớp 7 điều này không ảnh hưởng, nhưng biết để không ngạc nhiên khi đôi lúc tổng ra 0,9999999 thay vì 1.
Dùng AI để luyện phần này
AI hữu ích cho việc giải thích lại và ra bài luyện, còn tính chu kỳ dài thì nên kiểm bằng phép chia thật. Câu lệnh mẫu và lưu ý:
- "Giải thích cho học sinh lớp 7 vì sao phân số có mẫu chỉ gồm thừa số 2 và 5 thì ra số thập phân hữu hạn, dùng ví dụ tiền xu và tờ tiền mệnh giá giả định."
- "Cho em sáu phân số, em sẽ đoán loại hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn trước, sau đó mới hỏi đáp án."
- "Em đổi 0,1(6) ra phân số được 16/90. Kiểm từng bước giúp em, chỉ ra chỗ sai nếu có." Kết quả đúng là 1/6, vì 100x − 10x = 16,666... − 1,666... = 15, nên x = 15/90 = 1/6.
- Chu kỳ dài như của 1/7, 1/13, 1/17 là chỗ chatbot hay viết sai một chữ số. Đối chiếu bằng phép chia tay ít nhất một chu kỳ.
- Không cần đưa thông tin cá nhân nào vào khi hỏi bài loại này; nếu chụp đề, cắt bỏ tên và lớp.
Phần đổi ra phân số còn là bước đệm cho bài số thực: số thập phân vô hạn tuần hoàn luôn là số hữu tỉ, còn số thập phân vô hạn không tuần hoàn, như các chữ số của căn bậc hai của 2, là số vô tỉ. Hiểu chắc phần này thì bài số vô tỉ sẽ nhẹ hơn nhiều.
Bài tự luyện có đáp án để tự kiểm
Với mỗi bài, tự đoán loại trước bằng cách phân tích mẫu, sau đó chia tay để kiểm. Che phần đáp án khi làm.
- 7/40. Đáp án: 40 = 2^3 × 5, chỉ có thừa số 2 và 5, nên hữu hạn: 7/40 = 0,175.
- 9/12. Đáp án: rút gọn thành 3/4 trước, mẫu 4 = 2^2, nên hữu hạn: 0,75. Ai xét mẫu 12 có thừa số 3 trước khi rút gọn sẽ kết luận nhầm.
- 4/15. Đáp án: 15 = 3 × 5, có thừa số 3, nên vô hạn tuần hoàn: 0,2(6), với phần không lặp là 2.
- 5/27. Đáp án: 27 = 3^3, vô hạn tuần hoàn: 0,(185). Chu kỳ dài ba chữ số.
- Đổi 0,(45) ra phân số. Đáp án: 45/99, rút gọn chia cho 9 được 5/11. Kiểm: 5 : 11 = 0,4545...
- Đổi 0,1(2) ra phân số. Đáp án: 100x = 12,222..., 10x = 1,222..., trừ được 90x = 11, nên x = 11/90.
- Đổi 2,(3) ra phân số. Đáp án: 2 + 0,(3) = 2 + 1/3 = 7/3. Phần nguyên tách riêng rồi cộng lại là cách gọn nhất.
Sau khi làm xong, kiểm lại mỗi phân số bằng phép chia trên máy tính, nhưng nhớ rằng màn hình chỉ hiện một đoạn và có thể làm tròn chữ số cuối. Phép chia tay vẫn là cách duy nhất để thấy trọn chu kỳ, nhất là với các chu kỳ dài.
Câu hỏi thường gặp
Làm sao biết một phân số ra số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn?
Rút gọn phân số về tối giản với mẫu dương, rồi phân tích mẫu ra thừa số nguyên tố. Mẫu chỉ có thừa số 2 và 5 thì ra số thập phân hữu hạn, có thêm thừa số nguyên tố khác thì ra vô hạn tuần hoàn.
Chu kỳ của số thập phân vô hạn tuần hoàn là gì?
Là nhóm chữ số lặp lại mãi theo đúng thứ tự sau dấu phẩy, viết trong ngoặc đơn. Ví dụ 2/11 = 0,(18) có chu kỳ 18, còn 5/6 = 0,8(3) có phần không lặp là 8 và chu kỳ là 3.
Vì sao chu kỳ không bao giờ dài hơn mẫu số?
Khi chia tay, số dư luôn nhỏ hơn số chia nên chỉ có hữu hạn giá trị. Gặp lại một số dư cũ thì các chữ số bắt đầu lặp lại, nên độ dài chu kỳ nhỏ hơn mẫu số. Ví dụ 1/7 có chu kỳ 6 chữ số.
0,(9) có thật sự bằng 1 không?
Có. Đặt x bằng 0,999..., nhân 10 rồi trừ đi x được 9x bằng 9, nên x bằng 1. Hai cách viết 0,(9) và 1 chỉ cùng một số, vì vậy sách giáo khoa không dùng chu kỳ 9.
Máy tính hiện 2 chia 3 bằng 0,6666666667 có phải sai không?
Không sai, đó là làm tròn để vừa màn hình. Giá trị thật là 0,(6), chữ số 6 lặp mãi. Khi ghi vào bài, dùng ký hiệu chu kỳ hoặc giữ dạng phân số 2/3, trừ khi đề yêu cầu làm tròn.
Đổi số thập phân tuần hoàn có phần không lặp ra phân số thế nào?
Nhân với luỹ thừa của 10 để đưa phần không lặp lên trước dấu phẩy, nhân thêm theo độ dài chu kỳ, rồi trừ hai đẳng thức cho phần đuôi biến mất. Ví dụ 0,8(3) đổi ra 75/90, rút gọn bằng 5/6.