Khảo sát một hàm số là đi qua một trình tự cố định: tìm tập xác định, tính đạo hàm, xét dấu đạo hàm để biết hàm tăng giảm ở đâu, tìm cực trị và tiệm cận nếu có, lập bảng biến thiên, rồi mới vẽ. Đồ thị là bước cuối, chỉ là cách vẽ ra những gì bảng biến thiên đã kể.
Bài này làm trọn hai ví dụ tiêu biểu của lớp 12: một hàm bậc ba và một hàm phân thức dạng (ax + b)/(cx + d). Mọi con số đã tính lại tay. Phần cuối nói cách dùng phần mềm vẽ đồ thị và AI để kiểm từng bước, cùng những chỗ AI hay vẽ sai bảng biến thiên.
Trình tự khảo sát chung, áp dụng cho mọi hàm
Trước khi vào ví dụ, đây là khung chung. Thuộc khung này rồi thì gặp hàm nào cũng biết bước tiếp theo là gì.
- Tập xác định. Hàm đa thức xác định trên cả trục số; hàm phân thức bỏ đi các giá trị làm mẫu bằng 0.
- Đạo hàm và nghiệm của đạo hàm. Giải y' = 0, ghi thêm các điểm y' không xác định.
- Xét dấu đạo hàm. Chia trục số theo các điểm vừa tìm, mỗi khoảng thử một giá trị.
- Cực trị. Chỗ y' đổi dấu là điểm cực trị; tính tung độ tương ứng.
- Giới hạn và tiệm cận. Xem hàm đi về đâu khi x ra vô cực và khi x tiến tới các điểm bị loại.
- Bảng biến thiên. Ghi lại tất cả bằng mũi tên.
- Vẽ đồ thị. Chấm các điểm đặc biệt, kẻ tiệm cận, lấy thêm vài điểm, nối theo bảng biến thiên.
Khung này có tác dụng thêm một việc: khi nhờ AI kiểm bài, bạn gửi lời giải theo đúng từng bước, AI chỉ cần nói bước nào sai. Một lời giải viết liền một mạch thì cả bạn lẫn AI đều khó soát.
Ví dụ một: khảo sát y = −x^3 + 3x^2 − 4
Hàm đa thức nên tập xác định là cả trục số. Đạo hàm y' = −3x^2 + 6x = −3x(x − 2), bằng 0 khi x = 0 hoặc x = 2. Xét dấu: thử x = −1 được y' = −3 − 6 = −9 âm; thử x = 1 được −3 + 6 = 3 dương; thử x = 3 được −27 + 18 = −9 âm. Vậy hàm nghịch biến trên (−∞; 0), đồng biến trên (0; 2), nghịch biến trên (2; +∞).
Cực trị: tại x = 0, y' đổi từ âm sang dương nên đó là điểm cực tiểu, y(0) = −4. Tại x = 2, y' đổi từ dương sang âm nên đó là cực đại, y(2) = −8 + 12 − 4 = 0. Hệ số của x^3 là −1 âm, nên khi x ra dương vô cực thì y ra âm vô cực, khi x ra âm vô cực thì y ra dương vô cực.
Điểm uốn: đạo hàm cấp hai y'' = −6x + 6, bằng 0 tại x = 1, y(1) = −1 + 3 − 4 = −2. Điểm uốn (1; −2) nằm đúng chính giữa hai điểm cực trị (0; −4) và (2; 0), và đồ thị bậc ba đối xứng qua điểm này. Đây là phép kiểm rất hữu ích: nếu điểm uốn bạn tính không nằm giữa hai cực trị, có chỗ sai.
Giao với trục hoành: giải −x^3 + 3x^2 − 4 = 0, tương đương x^3 − 3x^2 + 4 = 0. Thử x = −1 thấy −1 − 3 + 4 = 0, nên x = −1 là nghiệm. Phân tích ra (x + 1)(x − 2)^2 = 0, nên đồ thị cắt trục hoành tại (−1; 0) và tiếp xúc trục hoành tại (2; 0), đúng ngay điểm cực đại. Giao với trục tung là (0; −4).
Bảng biến thiên của y = −x^3 + 3x^2 − 4 viết bằng chữ
Bảng biến thiên thật được kẻ ô với mũi tên. Dưới đây là cùng nội dung đó viết theo từng khoảng, để bạn đối chiếu với bảng mình tự kẻ.
| Khoảng hoặc điểm | Dấu của y' | Hàm số |
|---|---|---|
| x từ âm vô cực đến 0 | âm | giảm từ dương vô cực xuống −4 |
| x = 0 | bằng 0 | cực tiểu, y = −4 |
| x từ 0 đến 2 | dương | tăng từ −4 lên 0 |
| x = 2 | bằng 0 | cực đại, y = 0 |
| x từ 2 đến dương vô cực | âm | giảm từ 0 xuống âm vô cực |
Khi vẽ, chấm năm điểm: (−1; 0), (0; −4), (1; −2), (2; 0), và thêm (3; −4) để thấy nhánh phải đi xuống. Điểm (3; −4) đối xứng với (−1; 0) qua điểm uốn (1; −2), một lần nữa xác nhận tính đối xứng. Nối các điểm theo đúng chiều mũi tên, đỉnh và đáy tròn trơn.
Ví dụ hai: hàm phân thức y = (x + 1)/(x − 1) và hai đường tiệm cận
Mẫu bằng 0 khi x = 1, nên tập xác định là mọi số thực trừ 1. Đạo hàm theo quy tắc thương: y' = [1·(x − 1) − (x + 1)·1]/(x − 1)^2 = −2/(x − 1)^2. Tử là −2 luôn âm, mẫu luôn dương, nên y' luôn âm: hàm nghịch biến trên từng khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). Hàm không có cực trị.
Tiệm cận đứng: khi x tiến tới 1 từ bên phải, tử dồn về 2, mẫu là số dương rất nhỏ, nên y ra dương vô cực; từ bên trái mẫu là số âm rất nhỏ, y ra âm vô cực. Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng. Tiệm cận ngang: khi x ra vô cực, chia tử và mẫu cho x được (1 + 1/x)/(1 − 1/x), dồn về 1. Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang.
Đồ thị gồm hai nhánh nằm ở hai góc đối nhau tạo bởi hai tiệm cận, đối xứng qua giao điểm (1; 1) của chúng. Lấy vài điểm: x = 0 cho y = −1; x = −1 cho y = 0; x = 2 cho y = 3; x = 3 cho y = 2. Điểm (2; 3) và (0; −1) đối xứng qua (1; 1), khớp với tính đối xứng.
Lưu ý quan trọng khi viết kết luận: không được nói hàm nghịch biến trên "tập xác định" hay trên hợp hai khoảng. Lấy x = 0 cho y = −1 và x = 2 cho y = 3; x tăng mà y cũng tăng, vì hai điểm nằm ở hai nhánh khác nhau. Kết luận đúng là nghịch biến trên từng khoảng.
Ví dụ ba: hàm bậc hai trên bậc nhất y = (x^2 + 1)/x và tiệm cận xiên
Một số bộ sách lớp 12 có thêm dạng phân thức bậc hai trên bậc nhất. Lấy y = (x^2 + 1)/x, viết lại thành y = x + 1/x cho dễ làm. Tập xác định bỏ đi x = 0. Đạo hàm y' = 1 − 1/x^2 = (x^2 − 1)/x^2, bằng 0 khi x = 1 hoặc x = −1. Mẫu x^2 luôn dương nên dấu của y' là dấu của x^2 − 1: dương khi x nhỏ hơn −1 hoặc lớn hơn 1, âm khi x nằm giữa −1 và 1 (trừ 0).
Vậy hàm đạt cực đại tại x = −1 với y = −2, đạt cực tiểu tại x = 1 với y = 2. Điều thú vị là giá trị cực đại −2 lại nhỏ hơn giá trị cực tiểu 2. Không có gì sai: cực đại chỉ là "cao nhất trong vùng lân cận", và hai điểm này nằm trên hai nhánh khác nhau của đồ thị. Đây là ví dụ rất tốt để phá ngộ nhận rằng cực đại luôn lớn hơn cực tiểu.
Tiệm cận đứng là x = 0. Khi x ra vô cực, phần 1/x dồn về 0 nên đồ thị sát dần đường thẳng y = x; đó là tiệm cận xiên. Kiểm: tại x = 10, y = 10,1, chỉ cao hơn đường y = x đúng 0,1. Khi gửi bài này cho AI kiểm, hãy hỏi riêng về tiệm cận xiên, vì đó là phần hay bị bỏ sót nhất trong các lời giải tự động.
Chỗ AI hay sai khi khảo sát hàm số
Bảng biến thiên ngược dấu. AI có thể tính đúng nghiệm của y' nhưng điền dấu các khoảng theo mẫu thuộc lòng "trong trái ngoài cùng" rồi lấy nhầm dấu, nhất là khi hệ số cao nhất âm như ở ví dụ một. Thử một giá trị cụ thể trong mỗi khoảng là cách bắt nhanh nhất.
Gộp hai khoảng đơn điệu của hàm phân thức. Câu "nghịch biến trên tập xác định" xuất hiện khá thường xuyên. Nó sai vì lý do vừa nói ở trên.
Mô tả đồ thị không khớp với bảng biến thiên. Chatbot dựa trên chữ nên đôi khi tả "đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm" trong khi thực tế có một điểm tiếp xúc. Bạn tự kiểm bằng cách phân tích nhân tử như ở ví dụ một.
Thiếu tiệm cận hoặc thêm tiệm cận không có. Với hàm như (x^2 − 1)/(x − 1), mẫu bằng 0 tại x = 1 nhưng tử cũng bằng 0, rút gọn được x + 1, nên không có tiệm cận đứng tại đó. Luôn rút gọn trước khi kết luận.
Kiểm bằng phần mềm vẽ đồ thị sau khi tự làm
Phần mềm vẽ đồ thị miễn phí là công cụ kiểm tốt nhất cho bài khảo sát, tốt hơn hỏi chatbot, vì nó vẽ thẳng từ công thức chứ không suy luận bằng chữ. Nhưng thứ tự rất quan trọng: tự làm xong bảng biến thiên và tự vẽ trên giấy trước, rồi mới mở máy. Nếu mở máy trước, bạn sẽ vô thức chép hình chứ không thật sự khảo sát.
Khi so, kiểm năm thứ: các khoảng tăng giảm, toạ độ cực trị, điểm uốn, tiệm cận, giao điểm với hai trục. Nhiều phần mềm cho phép bấm vào đồ thị để hiện toạ độ điểm cực trị; so với số bạn tính. Nếu lệch, đừng sửa hình cho khớp, hãy lần lại xem bước nào sai.
Một bài tập đáng làm: nhập y = a x^3 + b x^2 + c x + d với bốn thanh trượt, giữ a cố định, kéo c qua lại và quan sát lúc nào đồ thị có hai cực trị, lúc nào không còn. Rồi tự giải thích bằng dấu của biệt thức của y'. Hiểu điều này từ hình vẽ giúp bạn làm bài "tìm m để hàm có cực trị" chắc chắn hơn nhiều so với thuộc điều kiện.
Với chatbot, câu lệnh hợp lý là: "Đây là bảng biến thiên em lập cho y = −x^3 + 3x^2 − 4, viết theo từng khoảng. Chỉ kiểm dấu y' trong từng khoảng và giá trị cực trị, đừng làm lại bài."
Câu hỏi thường gặp
Có bắt buộc tìm điểm uốn khi khảo sát hàm bậc ba không?
Tuỳ yêu cầu của đề và của thầy cô, nhưng nên tìm vì nó giúp vẽ đẹp và là phép kiểm rất tốt: điểm uốn của hàm bậc ba có hai cực trị luôn nằm chính giữa hai điểm cực trị.
Làm sao biết hàm phân thức có tiệm cận đứng?
Tìm giá trị làm mẫu bằng 0, rồi kiểm xem tử tại đó có khác 0 không. Nếu tử khác 0 thì có tiệm cận đứng. Nếu tử cũng bằng 0 thì rút gọn trước, có thể không còn tiệm cận ở đó.
Vì sao không được nói hàm phân thức nghịch biến trên cả tập xác định?
Vì tập xác định bị cắt làm hai khoảng rời nhau. Lấy một điểm bên trái và một điểm bên phải chỗ bị cắt, x tăng mà y có thể tăng, trái với định nghĩa nghịch biến. Chỉ được kết luận trên từng khoảng.
Dùng phần mềm vẽ trước rồi mới khảo sát có được không?
Được nếu chỉ để có hình dung ban đầu, nhưng bạn sẽ mất phần luyện quan trọng nhất là tự suy ra hình từ bảng biến thiên. Tốt hơn là tự làm trước, dùng máy để kiểm sau.
Hàm bậc ba lúc nào không có cực trị?
Khi đạo hàm y' của nó không đổi dấu, tức phương trình y' = 0 vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm kép. Ví dụ y = x^3 có y' = 3x^2 không âm, hàm luôn đồng biến và không có cực trị.
Bảng biến thiên do AI lập có dùng nộp bài được không?
Không nên. Bảng đó có thể sai dấu, và bài khảo sát là để bạn luyện tư duy. Hãy tự lập, rồi nếu muốn thì nhờ AI kiểm từng khoảng, và luôn so với hình do phần mềm vẽ từ công thức.