Hai tam giác đồng dạng khi một tam giác là bản phóng to hoặc thu nhỏ của tam giác kia: ba cặp góc tương ứng bằng nhau và ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ cùng một số k, gọi là tỉ số đồng dạng. Bằng nhau là trường hợp riêng của đồng dạng khi k bằng 1.
Đồng dạng là công cụ chính để tính độ dài mà không đo trực tiếp được, và là nền của hệ thức lượng trong tam giác vuông. Bài này đi từ định lý Thales tới ba trường hợp đồng dạng, giải thích vì sao diện tích không tỉ lệ theo k mà theo k bình phương, rồi chỉ những chỗ học sinh và cả AI hay ghép nhầm cặp cạnh.
Định lý Thales: điểm xuất phát của đồng dạng
Định lý Thales trong tam giác phát biểu: nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại, thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Cụ thể, trong tam giác ABC, đường thẳng song song với BC cắt AB tại M và AC tại N thì AM chia AB bằng AN chia AC, và cũng có AM chia MB bằng AN chia NC.
Định lý đảo cũng đúng: nếu M trên AB, N trên AC và AM chia MB bằng AN chia NC, thì MN song song với BC. Định lý đảo là công cụ để chứng minh hai đường thẳng song song bằng con số, rất hữu ích khi các góc không cho sẵn.
Hệ quả quan trọng nhất là tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC, và MN chia BC cũng bằng AM chia AB. Học sinh hay viết nhầm MN chia BC bằng AM chia MB. Cách nhớ: tỉ số cạnh đáy phải so cạnh của tam giác nhỏ với cạnh của tam giác lớn, nên ở hai cạnh bên cũng lấy đoạn của tam giác nhỏ chia cả cạnh của tam giác lớn, tức AM chia AB, không phải chia MB.
Thales sống ở Hy Lạp cổ đại; theo các ghi chép truyền lại, ông được gắn với việc đo chiều cao kim tự tháp bằng bóng nắng. Câu chuyện khó kiểm chứng chi tiết, nhưng phép đo bằng bóng đúng là ứng dụng trực tiếp của tam giác đồng dạng, và bạn làm được ở sân trường.
Ba trường hợp đồng dạng, đặt cạnh ba trường hợp bằng nhau
Ba trường hợp đồng dạng có cấu trúc gần giống ba trường hợp bằng nhau, chỉ đổi “cạnh bằng nhau” thành “cạnh tỉ lệ”. Đặt cạnh nhau giúp bạn nhớ cả hai cùng lúc.
| Trường hợp đồng dạng | Cần gì | Tương ứng với trường hợp bằng nhau |
|---|---|---|
| Cạnh – cạnh – cạnh | Ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ cùng một số | Ba cặp cạnh bằng nhau |
| Cạnh – góc – cạnh | Hai cặp cạnh tỉ lệ và góc xen giữa bằng nhau | Hai cạnh bằng nhau và góc xen giữa bằng nhau |
| Góc – góc | Hai cặp góc bằng nhau, không cần cạnh nào | Góc – cạnh – góc cần thêm cạnh xen giữa |
Trường hợp góc – góc là trường hợp dùng nhiều nhất, vì góc thường có sẵn: góc chung, góc đối đỉnh, góc vuông, góc so le trong khi có song song. Nó cần ít hơn trường hợp bằng nhau vì đồng dạng không đòi kích thước, chỉ đòi hình dạng.
Với tam giác vuông có thêm các trường hợp riêng: một cặp góc nhọn bằng nhau; hai cặp cạnh góc vuông tỉ lệ; hoặc cạnh huyền và một cạnh góc vuông tỉ lệ. Trường hợp cuối là bản đồng dạng của cạnh huyền – cạnh góc vuông.
Vì sao diện tích tỉ lệ theo k bình phương
Độ dài nhân k. Mọi độ dài tương ứng đều nhân với k: cạnh, đường cao, trung tuyến, chu vi. Tỉ số chu vi hai tam giác đồng dạng cũng bằng k.
Diện tích là tích hai độ dài. Diện tích tam giác bằng nửa đáy nhân chiều cao. Đáy nhân k, chiều cao cũng nhân k, nên diện tích nhân k nhân k, tức k bình phương. Phóng ảnh to gấp đôi mỗi chiều thì cần giấy gấp bốn, không phải gấp đôi.
Ví dụ giả định. Tam giác nhỏ có diện tích 5 cm vuông, tam giác lớn đồng dạng với tỉ số 3. Diện tích tam giác lớn là 5 nhân 9, bằng 45 cm vuông, không phải 15.
Chiều ngược lại. Biết tỉ số diện tích là 16 thì tỉ số đồng dạng là căn bậc hai của 16, bằng 4. Đề cho diện tích mà hỏi độ dài là chỗ hay bẫy, vì học sinh quên khai căn.
Lên không gian. Hai hình khối đồng dạng tỉ số k có thể tích tỉ lệ k lập phương. Đây là lý do một mô hình thu nhỏ một phần mười theo mỗi chiều chỉ nặng khoảng một phần nghìn vật thật nếu cùng vật liệu.
Hệ thức trong tam giác vuông: đồng dạng làm ra công thức
Trong tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH, có ba tam giác vuông: ABC, HBA và HAC. Chúng đồng dạng với nhau theo trường hợp góc – góc, vì mỗi cặp có chung một góc nhọn ngoài góc vuông. Từ ba cặp đồng dạng đó sinh ra các hệ thức mà nhiều học sinh học thuộc nhưng không biết nguồn gốc.
Từ tam giác HBA đồng dạng tam giác ABC, lấy cạnh tương ứng tỉ lệ được AB bình phương bằng BH nhân BC. Tương tự, AC bình phương bằng CH nhân BC. Từ tam giác HBA đồng dạng tam giác HAC được AH bình phương bằng BH nhân HC. Cộng hai hệ thức đầu: AB bình phương cộng AC bình phương bằng BC nhân tổng BH và HC, tức BC bình phương. Đó chính là một chứng minh của định lý Pythagore.
Kiểm bằng số, ví dụ giả định: BH bằng 4, HC bằng 9. Khi đó BC bằng 13, AH bình phương bằng 36 nên AH bằng 6, AB bình phương bằng 52, AC bình phương bằng 117. Tổng 52 và 117 là 169, đúng bằng 13 bình phương. Khi bạn quên một hệ thức, đừng tra lại công thức; vẽ ba tam giác, ghép cặp đồng dạng rồi tự viết lại.
Đo chiều cao cây bằng bóng nắng: một bài thực hành
Đây là hoạt động làm được ở sân trường trong một buổi chiều nắng, cho thấy đồng dạng không chỉ nằm trên giấy. Các số dưới đây là ví dụ giả định.
- Cắm một cọc thẳng đứng, đo phần nhô khỏi mặt đất, ví dụ 1,5 m.
- Cùng thời điểm, đo bóng của cọc, ví dụ 2 m, và bóng của cây tính từ gốc, ví dụ 12 m. Hai phép đo phải gần như cùng lúc vì bóng thay đổi theo giờ.
- Tia nắng gần như song song, cây và cọc cùng thẳng đứng, nên hai tam giác vuông tạo bởi vật, bóng và tia nắng có góc nhọn bằng nhau, đồng dạng theo góc – góc.
- Lập tỉ số: chiều cao cây chia 12 bằng 1,5 chia 2. Chiều cao cây bằng 12 nhân 0,75, tức 9 m.
- Ghi lại các nguồn sai số: mặt đất không bằng, cây nghiêng, đỉnh bóng mờ. Lặp lại ở một giờ khác và so sánh hai kết quả.
Bài thực hành này là chỗ tốt để nhờ AI đặt thêm câu hỏi mở rộng, ví dụ: “Nếu mặt đất dốc lên về phía cây thì kết quả đo bằng bóng sẽ lớn hơn hay nhỏ hơn thực tế? Đừng trả lời ngay, hãy hỏi em hai câu gợi ý trước.”
Hai mô hình hay gặp: hình chữ A và hình chữ X
Trong các bài đồng dạng ở THCS, cặp tam giác cần tìm thường nằm theo một trong hai mô hình. Mô hình chữ A là mô hình của định lý Thales: một tam giác lớn, một đường song song với đáy cắt hai cạnh bên, tạo ra tam giác nhỏ nằm lọt trong tam giác lớn và chung đỉnh. Hai tam giác chung một góc ở đỉnh, còn hai cặp góc ở đáy là các góc đồng vị.
Mô hình chữ X xuất hiện khi hai đoạn thẳng cắt nhau tại một điểm và hai đầu mút được nối bằng hai đoạn song song. Ví dụ điển hình là hình thang ABCD có AB song song với CD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Tam giác OAB đồng dạng với tam giác OCD theo góc – góc: hai góc ở O đối đỉnh, và góc OAB bằng góc OCD vì là cặp góc so le trong. Từ đó OA chia OC bằng OB chia OD bằng AB chia CD.
Khi hình phức tạp, hãy tô thử bằng bút màu: tìm những chỗ có hai đường song song, rồi xem chúng nằm trong chữ A hay chữ X. Thói quen này giúp tìm cặp tam giác nhanh hơn nhiều so với nhìn cả hình. Nếu không có đường song song nào, hãy tìm hai góc bằng nhau có sẵn, như góc chung hoặc hai góc nội tiếp cùng chắn một cung trong đường tròn, rồi thử trường hợp góc – góc.
Lỗi ghép cặp cạnh và cách kiểm, kể cả khi nhờ AI
Phần lớn bài đồng dạng sai không vì chọn sai trường hợp mà vì ghép nhầm cạnh tương ứng. Một số dấu hiệu và cách kiểm:
- Ghép theo vị trí trên hình thay vì theo góc. Cạnh tương ứng là cạnh đối diện với hai góc bằng nhau. Viết ký hiệu đồng dạng với thứ tự đỉnh theo đúng các cặp góc bằng nhau trước, rồi đọc cạnh từ ký hiệu.
- Lấy cạnh lớn chia cạnh nhỏ ở cặp này, cạnh nhỏ chia cạnh lớn ở cặp kia. Ba tỉ số phải cùng chiều: cạnh của tam giác thứ nhất chia cạnh tương ứng của tam giác thứ hai.
- Coi hai tam giác cân bất kỳ là đồng dạng. Chỉ đồng dạng khi góc ở đỉnh bằng nhau. Hai tam giác đều thì luôn đồng dạng; hai tam giác vuông cân cũng vậy.
- Nhầm k với k bình phương ở bài diện tích, như phần trên đã nói.
- Khi nhờ AI, yêu cầu nó viết ký hiệu đồng dạng kèm thứ tự đỉnh và giải thích vì sao từng cặp góc bằng nhau. AI đôi khi viết đúng tỉ số nhưng sai thứ tự đỉnh, hoặc ngược lại; bạn đối chiếu với hình của mình. Một câu lệnh gợi ý: “Em nghĩ tam giác (tên) đồng dạng tam giác (tên). Kiểm giúp thứ tự đỉnh và cặp góc bằng nhau, không tính độ dài hộ em.”
Kiểm cuối bằng số: tính xong độ dài, xem tam giác lớn có thật sự có cạnh lớn hơn không, và tỉ số giữa các cạnh có hợp lý với hình không. Kết quả cạnh nhỏ hơn trong tam giác được cho là lớn hơn là dấu hiệu ghép ngược.
Câu hỏi thường gặp
Tam giác đồng dạng và tam giác bằng nhau khác nhau thế nào?
Đồng dạng chỉ đòi cùng hình dạng, tức các góc bằng nhau và cạnh tỉ lệ; bằng nhau đòi thêm cùng kích thước. Mọi cặp tam giác bằng nhau đều đồng dạng với tỉ số 1, nhưng nhiều cặp đồng dạng không bằng nhau. Vì vậy trường hợp góc – góc đủ cho đồng dạng mà không đủ cho bằng nhau.
Định lý Thales có dùng được khi đường song song nằm ngoài tam giác không?
Có. Khi đường thẳng song song với BC cắt phần kéo dài của hai cạnh AB và AC, các đoạn vẫn tỉ lệ và tam giác tạo thành vẫn đồng dạng với tam giác ABC. Bạn cần cẩn thận đặt đúng tỉ số, nên vẽ hình to và đánh dấu rõ điểm nằm trên tia nào.
Tỉ số đồng dạng có thể nhỏ hơn 1 không?
Có. Tỉ số k phụ thuộc thứ tự bạn viết. Nếu tam giác thứ nhất nhỏ hơn tam giác thứ hai thì k nhỏ hơn 1. Viết ngược thứ tự thì tỉ số là nghịch đảo. Điều quan trọng là giữ cùng một chiều cho cả ba cặp cạnh.
Có cách nào kiểm nhanh hai tam giác đồng dạng bằng phần mềm không?
Trong phần mềm hình học động, bạn đo ba góc của mỗi tam giác hoặc tính ba tỉ số cạnh tương ứng rồi kéo các điểm tự do. Nếu các góc vẫn bằng nhau ở mọi vị trí thì nhiều khả năng đồng dạng là đúng. Đây là bằng chứng thực nghiệm để tin, lời giải vẫn phải dùng trường hợp đồng dạng.
Vì sao bản đồ và bản vẽ nhà dùng đồng dạng?
Bản vẽ theo tỉ lệ là hình đồng dạng với vật thật, tỉ số chính là tỉ lệ bản vẽ. Độ dài trên giấy nhân với mẫu số tỉ lệ ra độ dài thật, còn diện tích phải nhân với bình phương mẫu số. Nhầm điểm này là lỗi hay gặp khi tính diện tích từ bản vẽ.
Hệ thức lượng trong tam giác vuông có cần học thuộc không?
Nên nhớ, nhưng quan trọng hơn là biết tự dựng lại từ ba tam giác đồng dạng. Khi quên giữa giờ kiểm tra, bạn vẽ đường cao, viết ba cặp góc – góc và lấy tỉ số. Cách này cũng giúp không nhầm BH với HC trong công thức.