Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có đúng hai ước là 1 và chính nó; mọi số tự nhiên lớn hơn 1 khác đều viết được thành tích các số nguyên tố, và cách viết đó là duy nhất nếu không kể thứ tự. Hai câu này là toàn bộ nền móng của phần ước, bội, ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất ở lớp 6.
Bài dưới đây giải thích vì sao 0 và 1 không phải số nguyên tố, cách kiểm nhanh một số có phải nguyên tố không, hai cách trình bày phân tích ra thừa số nguyên tố, và những chỗ chatbot hay khẳng định sai một cách rất tự tin. Mọi ví dụ trong bài đã được tính lại, bạn vẫn nên tự nhân ngược để kiểm.
Số nguyên tố, hợp số và hai số đặc biệt
Một số tự nhiên lớn hơn 1 hoặc là số nguyên tố, hoặc là hợp số. Số nguyên tố có đúng hai ước: 2, 3, 5, 7, 11, 13 là những số nguyên tố đầu tiên. Hợp số có nhiều hơn hai ước: 4 có ba ước là 1, 2, 4; số 12 có sáu ước là 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Hai số 0 và 1 đứng ngoài cả hai nhóm. Số 1 chỉ có một ước là chính nó, không đủ hai ước. Số 0 chia hết cho mọi số khác 0 nên có vô số ước. Học sinh hay hỏi vì sao người ta không cho 1 là số nguyên tố cho tiện. Lý do là nếu 1 là số nguyên tố thì cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố sẽ không còn duy nhất: 6 = 2 × 3 = 1 × 2 × 3 = 1 × 1 × 2 × 3, và cứ thế. Loại 1 ra khỏi danh sách giúp định lý quan trọng nhất của phần này phát biểu gọn gàng.
Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất, vì mọi số chẵn khác đều có thêm ước 2. Nhờ đó, khi tìm số nguyên tố lớn hơn 2, bạn chỉ cần xét số lẻ. Một điều thú vị nữa để kể cho học sinh: có vô số số nguyên tố, điều này đã được chứng minh từ thời Hy Lạp cổ đại, và cách chứng minh đủ ngắn để học sinh khá có thể đọc hiểu khi được dẫn dắt.
Kiểm một số có phải số nguyên tố trong vài phút
Với số không quá lớn, cách làm sau đây đủ chắc chắn và không cần máy:
- Loại nhanh bằng dấu hiệu chia hết: tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho 2; tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5; tổng các chữ số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 3, chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 9.
- Tìm số tự nhiên lớn nhất mà bình phương của nó không vượt quá số cần kiểm. Ví dụ với 97, ta có 9 × 9 = 81 và 10 × 10 = 100, nên chỉ cần thử đến 9.
- Thử chia lần lượt cho các số nguyên tố không vượt quá mốc đó. Với 97: không chia hết cho 2, 3, 5, 7. Vậy 97 là số nguyên tố.
- Nếu gặp một phép chia hết, số đó là hợp số và bạn đã có luôn một cặp ước. Ví dụ 91: không chia hết cho 2, 3, 5 nhưng 91 = 7 × 13, nên 91 là hợp số.
- Ghi lại các phép thử ra giấy. Khi so với lời giải của AI hay của bạn cùng lớp, bạn biết chính xác mình đã thử đến đâu.
Vì sao chỉ cần thử đến căn bậc hai? Nếu một số là tích của hai số đều lớn hơn mốc đó, thì tích của chúng sẽ lớn hơn chính số đó, vô lý. Vậy hợp số luôn có ít nhất một ước nguyên tố không vượt quá mốc. Học sinh lớp 6 chưa cần chứng minh chặt, nhưng hiểu ý này giúp các em không phải thử chia đến tận số cần kiểm.
Số 91 là cái bẫy nổi tiếng: nó lẻ, không tận cùng bằng 5, tổng chữ số là 10 không chia hết cho 3, nên trông rất giống số nguyên tố. Một bẫy tương tự là 221 = 13 × 17.
Sàng Eratosthenes: tự tìm 25 số nguyên tố dưới 100
Thay vì học thuộc danh sách, học sinh có thể tự "sàng" ra số nguyên tố. Kẻ một bảng 10 hàng, 10 cột, ghi các số từ 1 đến 100. Gạch số 1. Khoanh số 2, rồi gạch mọi bội của 2 lớn hơn 2. Số nhỏ nhất chưa bị gạch tiếp theo là 3, khoanh nó và gạch mọi bội của 3. Tiếp tục với 5 và 7. Đến đây là xong, vì 11 × 11 = 121 đã vượt 100, nên mọi hợp số dưới 100 đều đã bị gạch bởi một trong bốn số 2, 3, 5, 7.
Các số còn lại không bị gạch chính là 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tự làm một lần mất khoảng hai mươi phút, nhưng sau đó học sinh nhớ danh sách tốt hơn hẳn đọc thuộc, và còn nhìn thấy những quy luật thú vị: các bội của 2 tạo thành cột dọc, các bội của 3 tạo thành đường chéo, những cặp số nguyên tố cách nhau 2 như 11 và 13, 17 và 19.
Đây là chỗ bảng tính trên máy tính phát huy tác dụng. Học sinh lớn hơn có thể dựng bảng 1 đến 100 trong bảng tính, dùng tô màu theo điều kiện để đánh dấu các bội của từng số. Việc tự xây dựng quy tắc tô màu buộc các em phải hiểu "bội của 3" nghĩa là gì, thay vì chỉ nhìn kết quả. Nếu nhờ AI, câu lệnh nên là "hướng dẫn em từng bước dựng bảng tính tô màu bội số, chưa đưa công thức hoàn chỉnh", để phần suy nghĩ vẫn là của học sinh.
Phân tích ra thừa số nguyên tố: sơ đồ cây và cột dọc
Sách giáo khoa thường giới thiệu hai cách trình bày. Cả hai cho cùng một kết quả; học sinh chọn cách nào thấy dễ theo dõi hơn. Bảng dưới so sánh với ví dụ 360.
| Sơ đồ cây | Cột dọc (chia liên tiếp) | |
|---|---|---|
| Cách làm | Tách 360 thành hai thừa số bất kỳ, như 36 × 10, rồi tách tiếp từng nhánh đến khi mọi lá đều là số nguyên tố | Chia 360 cho số nguyên tố nhỏ nhất có thể, ghi thương bên dưới, lặp lại đến khi thương bằng 1 |
| Ví dụ 360 | 36 = 6 × 6 = 2 × 3 × 2 × 3; 10 = 2 × 5 | 360 : 2 = 180; 180 : 2 = 90; 90 : 2 = 45; 45 : 3 = 15; 15 : 3 = 5; 5 : 5 = 1 |
| Kết quả | 360 = 2^3 × 3^2 × 5 | 360 = 2^3 × 3^2 × 5 |
| Điểm mạnh | Tự do chọn cách tách, hợp với số tròn | Có trình tự cố định, khó bỏ sót |
| Lỗi hay gặp | Dừng khi một lá vẫn là hợp số, như để nguyên 9 | Chia cho hợp số như 4 hoặc 6, làm kết quả lẫn hợp số |
Cách kiểm luôn giống nhau: nhân ngược tất cả thừa số lại. 2^3 × 3^2 × 5 = 8 × 9 × 5 = 360, đúng. Thêm một ví dụ để học sinh tự làm: 84 = 2^2 × 3 × 7, nhân lại 4 × 3 × 7 = 84.
Khi viết kết quả, người ta thường sắp các thừa số theo thứ tự tăng dần và gộp thành luỹ thừa. Thói quen này giúp bước tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất về sau nhanh và ít nhầm hơn.
AI hay sai ở đâu khi làm việc với số nguyên tố
Khẳng định sai một số là số nguyên tố. Với số có ba, bốn chữ số, chatbot đôi khi trả lời "đây là số nguyên tố" chỉ vì số đó trông giống, như 221 hay 1001. Thực tế 1001 = 7 × 11 × 13. Mô hình ngôn ngữ không thực sự chia thử từng số nếu không được yêu cầu cụ thể.
Phân tích thiếu thừa số. AI có thể viết 360 = 2^2 × 3^2 × 5, thiếu một thừa số 2. Nhân lại ra 180 là lộ ngay. Đây là lý do mọi kết quả phân tích phải được nhân ngược, dù là của AI hay của chính mình.
Yêu cầu AI trình bày phép thử chứ không chỉ kết luận. Câu lệnh mẫu: "Kiểm xem 221 có phải số nguyên tố không. Liệt kê từng số nguyên tố em cần thử chia và kết quả từng phép chia, chưa kết luận." Khi AI phải viết từng bước, chỗ sai lộ ra dễ hơn và học sinh học được cách làm.
Đối chiếu bằng công cụ tính toán thật. Một số dòng máy tính cầm tay có chức năng phân tích thừa số nguyên tố, bảng tính cũng có hàm tìm ước chung lớn nhất. Đây là những công cụ tính toán chính xác, khác với chatbot. Bạn kiểm hướng dẫn sử dụng của máy mình đang có để biết phím nào làm việc này.
Phân tích thừa số dùng để làm gì tiếp theo
Học sinh hay hỏi học phân tích ra thừa số nguyên tố để làm gì. Câu trả lời gần nhất là tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất: khi đã có dạng luỹ thừa của các số nguyên tố, chỉ cần so sánh số mũ là xong, không phải liệt kê dài dòng. Phần này có bài riêng trong cùng danh mục.
Ứng dụng thứ hai là đếm số ước. Nếu một số viết được thành 2^3 × 3^2 × 5, thì mỗi ước của nó có dạng 2 mũ từ 0 đến 3, nhân 3 mũ từ 0 đến 2, nhân 5 mũ từ 0 đến 1. Số cách chọn là 4 × 3 × 2 = 24, vậy 360 có 24 ước. Đây là phần mở rộng, không bắt buộc ở mọi lớp, nhưng rất hợp để học sinh khá tự khám phá và kiểm lại bằng cách liệt kê.
Ứng dụng thứ ba là rút gọn phân số và kiểm một phân số đã tối giản hay chưa: tử và mẫu không có thừa số nguyên tố chung thì phân số tối giản. Xa hơn, ý tưởng mọi số được "lắp" từ các số nguyên tố là nền của nhiều phần toán học về sau, kể cả cách mã hoá dữ liệu mà điện thoại vẫn dùng hằng ngày. Học sinh không cần hiểu sâu phần đó, nhưng biết rằng bài lớp 6 này có đường đi xa giúp các em có thêm lý do để học kỹ.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao số 1 không phải số nguyên tố?
Vì số nguyên tố phải có đúng hai ước khác nhau, còn số 1 chỉ có một ước. Thêm nữa, nếu coi 1 là số nguyên tố thì cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố sẽ không còn duy nhất, vì có thể nhân thêm bao nhiêu số 1 cũng được.
Có cách nào nhận ra ngay một số lớn là số nguyên tố không?
Không có dấu hiệu nhìn qua là biết. Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 chỉ giúp loại nhanh nhiều hợp số. Muốn chắc chắn vẫn phải thử chia cho các số nguyên tố không vượt quá căn bậc hai của số đó, hoặc dùng công cụ tính toán.
Có bao nhiêu số nguyên tố nhỏ hơn 100?
Có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100, từ 2, 3, 5, 7 đến 89, 97. Học sinh có thể tự tìm lại danh sách này bằng sàng Eratosthenes trên bảng 10 hàng 10 cột, chỉ cần gạch bội của 2, 3, 5 và 7.
Phân tích ra thừa số nguyên tố bằng sơ đồ cây và bằng cột dọc, cách nào đúng hơn?
Hai cách đều đúng và cho cùng một kết quả vì cách phân tích là duy nhất. Sơ đồ cây linh hoạt, hợp với số tròn chục; cột dọc có trình tự cố định nên ít bỏ sót. Học sinh nên thành thạo ít nhất một cách và biết đọc cách còn lại.
Nhờ AI kiểm một số có phải nguyên tố có tin được không?
Không nên tin kết luận trần. Chatbot có thể khẳng định sai với các số như 221 hay 1001. Bạn nên yêu cầu nó liệt kê từng phép chia thử, rồi tự kiểm vài phép chia hoặc dùng máy tính cầm tay để đối chiếu.
Học thuộc danh sách số nguyên tố có cần thiết không?
Nhớ khoảng mười số nguyên tố đầu tiên là đủ dùng cho phần lớn bài tập. Quan trọng hơn là biết cách tự kiểm một số bất kỳ. Tự sàng ra danh sách một lần thường giúp nhớ lâu hơn đọc thuộc.