Logarit cơ số a của b, viết log_a(b), là số mũ c sao cho a^c = b; nói cách khác, logarit trả lời câu hỏi "a mũ mấy thì bằng b". Ví dụ log_2(8) = 3 vì 2^3 = 8, và log_10(1000) = 3 vì 10^3 = 1000. Logarit chỉ được định nghĩa khi cơ số a dương và khác 1, còn số b phải dương.
Theo chương trình giáo dục phổ thông 2018, lũy thừa với số mũ thực, logarit, hàm số mũ, hàm số logarit và phương trình, bất phương trình mũ, logarit cơ bản được học ở lớp 11. Phần dưới đi từ lũy thừa, giải thích từng quy tắc tính bằng ví dụ kiểm được, liệt kê những "quy tắc" sai mà học sinh tự nghĩ ra, rồi giải phương trình mũ và logarit kèm bước loại nghiệm mà chatbot hay bỏ sót.
Lũy thừa: từ số mũ nguyên dương đến số mũ âm và phân số
Với số mũ nguyên dương, a^n là tích của n thừa số a: 2^3 = 2 × 2 × 2 = 8. Khi số mũ là 0, âm hay phân số, định nghĩa "nhân n lần" không còn nghĩa, nên toán học mở rộng theo cách giữ nguyên các quy tắc cũ. Cách dễ thấy nhất là đi lùi theo một dãy: 2^3 = 8, 2^2 = 4, 2^1 = 2. Mỗi lần số mũ giảm 1, kết quả chia cho 2. Đi tiếp thì 2^0 = 1, 2^(−1) = 1/2, 2^(−2) = 1/4, 2^(−3) = 1/8.
Từ đó có hai quy ước: a^0 = 1 với a khác 0, và a^(−n) = 1/a^n. Chúng không phải luật được đặt ra tuỳ ý mà là lựa chọn duy nhất để quy tắc a^m × a^n = a^(m + n) vẫn đúng. Chẳng hạn 2^3 × 2^(−3) phải bằng 2^0, mà vế trái là 8 × 1/8 = 1.
Số mũ phân số cũng theo cùng lý lẽ. Muốn (a^(1/2))^2 = a^1 = a thì a^(1/2) phải là căn bậc hai của a. Tổng quát hơn, a^(m/n) là căn bậc n của a^m, với a dương. Ví dụ 8^(2/3): căn bậc ba của 8 là 2, bình phương lên được 4. Kiểm ngược: 4^3 = 64 và 8^2 = 64, nên (8^(2/3))^3 = 8^2 đúng như quy tắc.
Điều kiện a dương khi số mũ không nguyên là có lý do: (−8)^(1/3) có thể hiểu là −2, nhưng (−8)^(2/6) theo cùng cách lại thành căn bậc sáu của 64, ra 2, mâu thuẫn với kết quả trước. Để tránh những mâu thuẫn như vậy, sách giáo khoa chỉ xét lũy thừa với số mũ không nguyên khi cơ số dương.
Logarit là câu hỏi ngược của lũy thừa
Phép trừ trả lời câu hỏi ngược của phép cộng, phép chia trả lời câu hỏi ngược của phép nhân. Lũy thừa có hai câu hỏi ngược: biết số mũ và kết quả, tìm cơ số, đó là khai căn; biết cơ số và kết quả, tìm số mũ, đó là logarit. Phương trình 2^x = 8 hỏi số mũ, nên đáp số là log_2(8) = 3.
Đọc logarit thành câu hỏi giúp tính nhẩm được nhiều giá trị. log_3(81): 3 mũ mấy bằng 81? 3^4 = 81, nên bằng 4. log_10(0,01): 10 mũ mấy bằng 0,01? 10^(−2) = 0,01, nên bằng −2. log_5(1): mọi cơ số mũ 0 đều bằng 1, nên bằng 0. log_2(1/8): 2^(−3) = 1/8, nên bằng −3. Logarit hoàn toàn có thể âm; chỉ số đứng sau chữ log mới phải dương.
Ba điều kiện của định nghĩa đều có lý do. Cơ số không được bằng 1 vì 1 mũ bao nhiêu cũng bằng 1, câu hỏi "1 mũ mấy bằng 5" vô nghiệm còn "1 mũ mấy bằng 1" có vô số đáp án. Cơ số phải dương để lũy thừa với mọi số mũ thực đều có nghĩa, như đã nói ở mục trước. Số b phải dương vì a^c với a dương luôn dương, không số mũ nào cho ra 0 hay số âm.
Hai loại logarit có ký hiệu riêng: logarit thập phân, cơ số 10, thường viết log hoặc lg; logarit tự nhiên, cơ số e xấp xỉ 2,718, viết ln. Máy tính cầm tay thường có sẵn phím cho cả hai; với cơ số khác, bạn dùng công thức đổi cơ số hoặc phím logarit cơ số tuỳ chọn nếu máy có.
Các quy tắc tính logarit, mỗi quy tắc một phép kiểm bằng số
Mọi quy tắc logarit đều suy ra từ quy tắc lũy thừa tương ứng. Bảng dưới ghi quy tắc với a, b, c dương và a khác 1, kèm ví dụ cơ số 2 để bạn tự kiểm bằng tính nhẩm. Một quy tắc mà bạn đã tự kiểm bằng số thì rất khó nhớ nhầm.
| Quy tắc | Đến từ quy tắc lũy thừa | Ví dụ kiểm |
|---|---|---|
| log_a(bc) = log_a(b) + log_a(c) | a^m × a^n = a^(m + n) | log_2(32) = log_2(4) + log_2(8) = 2 + 3 = 5, và 2^5 = 32 |
| log_a(b/c) = log_a(b) − log_a(c) | a^m : a^n = a^(m − n) | log_2(32/4) = 5 − 2 = 3, và 32/4 = 8 = 2^3 |
| log_a(b^k) = k × log_a(b) | (a^m)^k = a^(mk) | log_2(64) = log_2(4^3) = 3 × 2 = 6, và 2^6 = 64 |
| log_a(b) = log_c(b) / log_c(a) | Viết b = a^x rồi lấy log_c hai vế | log_8(32) = log_2(32)/log_2(8) = 5/3; kiểm 8^(5/3) = (2^3)^(5/3) = 2^5 = 32 |
| a^(log_a(b)) = b và log_a(a^x) = x | Định nghĩa logarit | 2^(log_2(7)) = 7; log_2(2^10) = 10 |
Công thức đổi cơ số là thứ dùng nhiều nhất khi bấm máy. Muốn tính log_3(5), bạn lấy ln 5 chia ln 3, khoảng 1,6094 chia 1,0986, được xấp xỉ 1,465. Kiểm lại: 3^1,465 phải gần bằng 5, và máy cho kết quả khoảng 5,00, khớp.
Những quy tắc sai mà ai cũng từng viết
Logarit của một tổng không bằng tổng các logarit. log_2(4 + 4) = log_2(8) = 3, trong khi log_2(4) + log_2(4) = 4. Quy tắc cộng chỉ áp cho logarit của một tích. Với tổng, nói chung không có công thức rút gọn nào.
Thương hai logarit không bằng logarit của thương. log_2(8)/log_2(4) = 3/2, trong khi log_2(8/4) = log_2(2) = 1. Thương hai logarit cùng cơ số là công thức đổi cơ số, ở đây bằng log_4(8), và 4^(3/2) = 8 thật.
Bình phương của logarit khác logarit của bình phương. (log_2(8))^2 = 9, còn log_2(8^2) = 2 × 3 = 6. Khi viết log^2 x, nhiều sách hiểu là (log x)^2; nên viết rõ ngoặc để không ai đọc nhầm, kể cả chatbot.
Đưa số mũ chẵn ra ngoài mà quên trị tuyệt đối. log_2(x^2) = 2 × log_2(x) chỉ đúng khi x dương. Với x = −4, vế trái là log_2(16) = 4, còn vế phải không xác định. Viết đúng là 2 × log_2 của trị tuyệt đối của x. Bỏ chi tiết này đi là mất hẳn một nhánh nghiệm âm trong phương trình.
Cộng các lũy thừa như nhân. 2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12, không bằng 2^5 = 32. Quy tắc cộng số mũ chỉ dành cho phép nhân hai lũy thừa cùng cơ số.
Giải phương trình mũ và logarit cơ bản từng bước
Ở mức sách giáo khoa, hầu hết phương trình mũ và logarit quy về hai dạng: a^x = b, và log_a(x) = c. Bốn ví dụ dưới đây đi từ dễ đến dạng phải loại nghiệm, mỗi ví dụ đều được kiểm lại.
- Đưa về cùng cơ số. 2^(x + 1) = 16. Vì 16 = 2^4 nên x + 1 = 4, x = 3. Kiểm: 2^4 = 16.
- Lấy logarit khi không cùng cơ số được. 3^x = 5. Không viết 5 thành lũy thừa đẹp của 3 được, nên x = log_3(5), xấp xỉ 1,465. Đây là đáp số chính xác; số thập phân chỉ là giá trị gần đúng, đề hỏi gì thì ghi nấy.
- Đặt điều kiện trước, rồi mũ hoá. log_2(x − 1) = 3. Điều kiện x − 1 > 0, tức x > 1. Theo định nghĩa, x − 1 = 2^3 = 8, nên x = 9, thoả điều kiện. Kiểm: log_2(8) = 3.
- Gộp logarit, giải, rồi loại nghiệm. log_2(x) + log_2(x − 2) = 3. Điều kiện x > 0 và x > 2, tức x > 2. Gộp thành log_2(x(x − 2)) = 3, nên x^2 − 2x = 8, x^2 − 2x − 8 = 0, có hai nghiệm x = 4 và x = −2. Đối chiếu điều kiện, loại x = −2. Kiểm x = 4: log_2(4) + log_2(2) = 2 + 1 = 3.
Ví dụ thứ tư cho thấy vì sao bước đặt điều kiện phải đứng đầu. Sau khi gộp hai logarit thành một, biểu thức x(x − 2) dương cả khi x = −2, nên phương trình mới nhận −2 làm nghiệm, trong khi phương trình gốc không xác định tại đó. Phép gộp đã nới rộng miền xác định. Đây đúng là chỗ lời giải của chatbot hay dừng lại ở "x = 4 hoặc x = −2" mà không loại.
Logarit dùng để làm gì ngoài sách giáo khoa
Logarit hữu ích bất cứ khi nào cần hỏi "phải nhân bao nhiêu lần". Ví dụ giả định về lãi kép: một khoản tiền tăng 8% mỗi năm thì bao lâu gấp đôi? Cần 1,08^n = 2, nên n = ln 2/ln 1,08, khoảng 0,6931 chia 0,0770, được xấp xỉ 9. Kiểm: 1,08^9 xấp xỉ 1,999, đúng là gần gấp đôi. Con số 8% chỉ để minh hoạ, không phải lãi suất của bất kỳ sản phẩm thật nào.
Logarit cũng cho biết một số lớn có bao nhiêu chữ số. 2^100 có bao nhiêu chữ số? log_10(2^100) = 100 × log_10(2), khoảng 100 × 0,30103 = 30,103. Một số có logarit thập phân nằm giữa 30 và 31 thì nằm giữa 10^30 và 10^31, tức có 31 chữ số. Bạn biết điều đó mà không cần tính ra con số khổng lồ.
Trong khoa học, nhiều thang đo dùng logarit vì đại lượng thay đổi qua nhiều bậc. Độ pH của dung dịch là âm logarit thập phân của nồng độ ion hiđrô, nên pH giảm 1 đơn vị nghĩa là nồng độ ion hiđrô tăng gấp 10 lần. Mức cường độ âm tính bằng đêxiben cũng dựa trên logarit: tăng 10 dB ứng với cường độ âm gấp 10 lần. Hiểu điều này, bạn sẽ đọc đúng các con số trong bài hoá, bài vật lý và cả tin tức.
Cuối cùng, đồ thị y = 2^x và y = log_2(x) đối xứng nhau qua đường thẳng y = x, vì hai hàm là ngược của nhau. Vẽ cả ba đường trên cùng một hệ trục bằng phần mềm vẽ đồ thị là cách nhanh nhất để thấy vì sao hàm logarit chỉ có nghĩa khi x dương: đó chính là tập giá trị của hàm mũ.
Học logarit cùng AI và máy tính cầm tay
Logarit là chương mà công cụ giúp kiểm rất tốt, nhưng cũng dễ khiến bạn bấm máy thay vì hiểu. Vài cách dùng giữ được phần hiểu:
- Luyện câu hỏi ngược trước khi bấm máy. Câu lệnh mẫu: "Em đang học logarit lớp 11. Cho em mười câu dạng log cơ số nhỏ của một số đẹp để em tính nhẩm, có cả kết quả âm và phân số. Chưa cho đáp án."
- Nhờ AI soát quy tắc, không làm hộ. "Đây là các bước em rút gọn biểu thức logarit. Chỉ ra bước nào dùng quy tắc không đúng và nói tên quy tắc đúng, đừng viết lại lời giải."
- Bắt AI nêu điều kiện. Khi lời giải phương trình logarit của chatbot không có dòng điều kiện xác định ở đầu, hãy tự đặt điều kiện và đối chiếu từng nghiệm. Đây là lỗi hay gặp nhất của lời giải tự động.
- Kiểm quy tắc bằng số cụ thể. Nghi ngờ một đẳng thức, thay a = 2 và vài giá trị b, c đẹp như 4, 8, 16 rồi tính hai vế. Một phản ví dụ là đủ để bác bỏ.
- Kiểm nghiệm bằng máy. Thay nghiệm vào phương trình gốc trên máy tính cầm tay, nhớ đặt ngoặc đầy đủ quanh số mũ và quanh biểu thức sau chữ log.
- Giữ thông tin riêng tư. Không cần gửi tên, lớp hay ảnh có tên trường; chỉ gõ lại đề bài.
Nếu sau một tuần bạn tự tính nhẩm được các logarit cơ bản và tự nhận ra quy tắc sai trong bảng ở trên, phần còn lại của chương, gồm hàm số mũ, hàm số logarit và bất phương trình, sẽ nhẹ đi rất nhiều.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao cơ số của logarit phải khác 1?
Vì 1 mũ bao nhiêu cũng bằng 1. Câu hỏi "1 mũ mấy bằng 5" không có đáp án, còn "1 mũ mấy bằng 1" có vô số đáp án, nên logarit cơ số 1 không xác định được một giá trị duy nhất.
Logarit có thể âm không?
Có. Logarit âm khi số b nằm giữa 0 và 1 và cơ số lớn hơn 1, chẳng hạn log_2 của 1/8 bằng −3. Thứ không được âm là số đứng sau chữ log, vì lũy thừa của cơ số dương luôn dương.
ln và log khác nhau thế nào?
ln là logarit tự nhiên, cơ số e xấp xỉ 2,718; log thường dùng để chỉ logarit thập phân, cơ số 10. Hai loại đổi qua nhau bằng công thức đổi cơ số. Một số tài liệu nước ngoài dùng log để chỉ ln, nên đọc kỹ quy ước của tài liệu.
Làm sao tính log cơ số 3 trên máy tính không có phím cơ số tuỳ chọn?
Dùng công thức đổi cơ số: log_3(b) bằng ln b chia ln 3, hoặc log b chia log 3. Bấm đủ ngoặc cho từng phần, sau đó kiểm lại bằng cách nâng 3 lên lũy thừa vừa tìm được.
Vì sao giải phương trình logarit hay bị thừa nghiệm?
Vì các phép biến đổi như gộp hai logarit thành logarit của tích, hay bỏ logarit hai vế, có thể nới rộng miền xác định. Nghiệm tìm được sau đó có thể làm biểu thức gốc không xác định. Đặt điều kiện ngay từ đầu và đối chiếu ở cuối là cách tránh.
Học logarit có cần nhớ bảng giá trị không?
Không cần học thuộc bảng. Chỉ cần thuộc các lũy thừa nhỏ của 2, 3, 5 và 10 để tính nhẩm các logarit đẹp; giá trị lẻ thì dùng máy tính và công thức đổi cơ số. Hiểu logarit như câu hỏi ngược của lũy thừa quan trọng hơn mọi bảng số.