Muốn tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số liên tục trên đoạn [a; b], bạn chỉ cần so sánh giá trị của hàm tại hai đầu mút với giá trị tại những điểm bên trong đoạn mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. Số lớn nhất trong danh sách đó là giá trị lớn nhất, số nhỏ nhất là giá trị nhỏ nhất. Không cần lập bảng biến thiên đầy đủ.
Bài toán tối ưu ngoài đời, như cắt tấm bìa làm hộp đựng được nhiều nhất hay quây rào được khoảnh đất rộng nhất, thật ra là cùng một việc, chỉ thêm một bước khó hơn ở đầu: dịch câu chữ thành hàm số. Bài này đi qua cả hai phần, các ví dụ số đều đã tính lại tay, và chỉ ra chỗ AI giúp được thật sự là bước dựng mô hình, không phải bước tính.
Bốn bước tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên một đoạn
Lấy ví dụ f(x) = x^3 − 3x^2 − 9x + 5 trên đoạn [−2; 4]. Hãy làm song song trên giấy, đến mỗi bước dừng lại tự tính trước khi đọc kết quả.
- Kiểm tra hàm liên tục trên đoạn. Đây là đa thức nên liên tục trên mọi đoạn. Với hàm phân thức, phải chắc mẫu không bằng 0 ở bất kỳ điểm nào trong đoạn.
- Tính đạo hàm và tìm điểm tới hạn. f'(x) = 3x^2 − 6x − 9 = 3(x^2 − 2x − 3) = 3(x + 1)(x − 3). Đạo hàm bằng 0 tại x = −1 và x = 3.
- Loại điểm nằm ngoài đoạn. Cả −1 và 3 đều nằm trong [−2; 4] nên giữ cả hai. Nếu đề đổi thành đoạn [0; 4] thì x = −1 phải bỏ, và nhiều lời giải sai đúng ở chỗ quên bỏ.
- Tính giá trị và so sánh. f(−2) = −8 − 12 + 18 + 5 = 3; f(−1) = −1 − 3 + 9 + 5 = 10; f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22; f(4) = 64 − 48 − 36 + 5 = −15. Giá trị lớn nhất là 10, đạt tại x = −1; giá trị nhỏ nhất là −22, đạt tại x = 3.
Lưu ý rằng ở ví dụ này cả hai giá trị cần tìm đều nằm ở điểm bên trong đoạn, nhưng chỉ cần đổi đoạn một chút là đầu mút thắng. Trên đoạn [−2; 5], ta có thêm f(5) = 125 − 75 − 45 + 5 = 10, bằng đúng giá trị tại x = −1, nên giá trị lớn nhất 10 đạt tại hai điểm. Đó là lý do bước so sánh phải gồm cả đầu mút, không có ngoại lệ.
Vì sao chỉ cần xét đầu mút và chỗ đạo hàm bằng 0
Tưởng tượng bạn đi bộ dọc đồ thị từ đầu trái sang đầu phải của đoạn. Điểm cao nhất trên đường đi chỉ có thể nằm ở một trong hai loại chỗ: hoặc ở đỉnh một con dốc, nơi bạn đang lên rồi chuyển sang xuống, hoặc ở ngay điểm xuất phát hay điểm kết thúc. Ở đỉnh dốc của một đường cong trơn, tiếp tuyến nằm ngang, tức đạo hàm bằng 0. Ngoài hai loại chỗ đó, bạn luôn đang đi lên hoặc đi xuống, nên luôn có một điểm sát bên cao hơn.
Lập luận này cũng cho thấy vì sao điều kiện "liên tục trên đoạn" quan trọng. Nếu đồ thị bị đứt, chẳng hạn hàm y = 1/x trên đoạn [−1; 1], thì đi tới gần 0 từ bên phải giá trị tăng vọt không có trần, và hàm không có giá trị lớn nhất. Một chatbot áp máy móc bốn bước ở trên mà không kiểm mẫu số sẽ đưa ra một con số trông rất hợp lý nhưng sai hoàn toàn.
Còn một loại điểm nữa ít gặp ở phổ thông: chỗ đạo hàm không tồn tại, như góc nhọn của y = |x − 2|. Trên đoạn [0; 3], giá trị nhỏ nhất bằng 0 đạt tại x = 2, đúng ngay chỗ góc nhọn, dù đạo hàm ở đó không bằng 0 mà không xác định. Vì vậy danh sách điểm cần xét là: đầu mút, chỗ đạo hàm bằng 0, chỗ đạo hàm không xác định.
Bài toán hộp giấy: dựng hàm số từ một tấm bìa
Ví dụ giả định: bạn có một tấm bìa hình vuông cạnh 12 cm, cắt ở bốn góc bốn hình vuông nhỏ bằng nhau cạnh x cm rồi gấp lên thành một cái hộp không nắp. Cắt bao nhiêu thì hộp đựng được nhiều nhất? Đây là bài toán tối ưu kinh điển, và phần khó nhất là ba câu đầu tiên.
Câu một: đại lượng cần tối ưu là gì? Thể tích hộp. Câu hai: nó phụ thuộc vào cái gì? Vào x. Đáy hộp là hình vuông cạnh 12 − 2x, vì mỗi cạnh bị cắt hai đầu; chiều cao là x. Vậy V(x) = x(12 − 2x)^2. Câu ba: x được phép nằm trong khoảng nào? Phải dương và 12 − 2x cũng phải dương, nên x nằm giữa 0 và 6, không lấy hai đầu. Bỏ qua câu ba là lỗi rất hay gặp, và chính nó loại đi nghiệm thừa ở bước sau.
Tính đạo hàm theo quy tắc tích: V'(x) = (12 − 2x)^2 + x nhân 2(12 − 2x)(−2) = (12 − 2x)[(12 − 2x) − 4x] = (12 − 2x)(12 − 6x). Đạo hàm bằng 0 khi x = 6 hoặc x = 2. Giá trị x = 6 nằm ngoài khoảng cho phép, đúng là lúc đó tấm bìa bị cắt hết, nên chỉ còn x = 2. Thử dấu: x = 1 cho V' = 10 nhân 6 = 60 dương, x = 3 cho V' = 6 nhân (−6) = −36 âm, nên x = 2 là điểm cực đại. Thể tích lớn nhất là V(2) = 2 nhân 8^2 = 128 cm khối.
Kiểm bằng vài giá trị gần đó: V(1) = 1 nhân 100 = 100, V(3) = 3 nhân 36 = 108. Cả hai đều nhỏ hơn 128, khớp. Nếu có kéo và tờ giấy kẻ ô, cắt thử ba cái hộp với x = 1, 2, 3 rồi đổ gạo hay cát vào so là một hoạt động rất đáng làm, nhất là với học sinh hay thấy bài toán tối ưu là thứ chỉ có trên giấy.
Ba bài tối ưu quen thuộc: đại lượng, hàm số và kết quả
Mỗi dòng dưới đây là một bài tối ưu ở mức sách giáo khoa, đều là ví dụ giả định với số dễ tính. Che cột cuối, tự dựng hàm và giải, rồi mới so.
| Tình huống | Hàm số cần tối ưu | Kết quả |
|---|---|---|
| Hộp không nắp từ tấm bìa vuông cạnh 12 cm, cắt góc cạnh x | V = x(12 − 2x)^2 với x nằm giữa 0 và 6 | x = 2, thể tích lớn nhất 128 cm khối |
| Rào ba cạnh khoảnh đất chữ nhật sát bờ sông bằng 60 m lưới, cạnh vuông góc bờ dài x | S = x(60 − 2x) với x nằm giữa 0 và 30 | x = 15, cạnh song song bờ 30 m, diện tích lớn nhất 450 mét vuông |
| Lon hình trụ có nắp, thể tích cố định V, bán kính r | Diện tích vật liệu S = 2πr^2 + 2V/r với r dương | S nhỏ nhất khi chiều cao bằng đường kính, h = 2r |
| Bán hàng: mỗi lần tăng giá một đơn vị thì bán ít đi một sản phẩm, giá gốc 50, bán được 100 | Doanh thu R = (50 + x)(100 − x) với x từ 0 đến dưới 100 | x = 25, giá 75 bán 75 sản phẩm, doanh thu lớn nhất 5625 đơn vị |
Dòng lon hình trụ đáng làm kỹ. Đạo hàm S'(r) = 4πr − 2V/r^2 bằng 0 khi r^3 = V/(2π). Thay vào h = V/(πr^2) được h = 2r. Với ví dụ giả định V = 500 cm khối, r xấp xỉ 4,30 cm và h xấp xỉ 8,60 cm. Lon ngoài đời thường không đúng tỉ lệ này vì nhà sản xuất còn tính chuyện cầm nắm, xếp kệ, độ dày nắp khác thân; đó là ví dụ tốt để bàn rằng mô hình toán luôn đơn giản hơn thực tế.
Dòng hàng rào và dòng bán hàng là hàm bậc hai, giải được bằng đỉnh parabol mà không cần đạo hàm. Làm theo cả hai cách rồi so là một phép tự kiểm rất chắc.
Chỗ học sinh và AI hay sai ở bài tối ưu
Quên miền xác định của biến. Không ghi điều kiện x nằm giữa 0 và 6 thì không có căn cứ loại x = 6, và có lời giải còn kết luận "thể tích nhỏ nhất bằng 0 tại x = 6" như một đáp án. Trong bài thực tế, mỗi biến luôn đi kèm một câu hỏi: nó được phép lớn hay nhỏ tới đâu.
Nhầm cực đại với giá trị lớn nhất. Trên một khoảng mở, một điểm cực đại duy nhất thường là điểm lớn nhất, nhưng trên đoạn có đầu mút thì phải so thêm. Với bài có nhiều điểm tới hạn, một cực đại có thể thua đầu mút.
Dựng sai hàm từ đề. Đây là lỗi nguy hiểm nhất, vì mọi bước sau đều đúng mà kết quả vẫn sai. Ở bài hộp, viết đáy là 12 − x thay vì 12 − 2x là một ví dụ. Cách bắt: thay một giá trị x cụ thể, tự hình dung hoặc vẽ, xem kích thước tính ra có khớp với hình không.
Trả lời thiếu ý đề hỏi. Đề hỏi "cắt bao nhiêu" thì đáp án là x = 2 cm; đề hỏi "thể tích lớn nhất bao nhiêu" thì đáp án là 128 cm khối. Rất nhiều bài mất điểm vì tìm được x rồi dừng.
AI làm tròn quá sớm. Với bài lon trụ, nếu làm tròn r thành 4,3 ngay từ đầu rồi mới tính h, kết quả lệch đi chút ít. Nên giữ biểu thức chính xác đến cuối rồi mới bấm máy.
Dùng AI ở đúng bước khó nhất: dịch đề thành hàm số
Bước tính đạo hàm và giải phương trình ở bài tối ưu thường không khó; bước làm học sinh đứng hình là đọc một đoạn văn rồi không biết đặt ẩn nào, hàm nào. Đây là chỗ một chatbot có ích, miễn là bạn bắt nó hỏi chứ không bắt nó làm. Câu lệnh mẫu: "Em đang làm bài tối ưu: [chép đề]. Đừng giải. Hỏi em lần lượt ba câu: đại lượng nào cần lớn nhất hoặc nhỏ nhất, nó phụ thuộc vào biến nào, biến đó được phép nằm trong khoảng nào. Em trả lời sai thì gợi ý, đừng nói đáp án."
Khi đã có hàm số, bạn tự giải tiếp. Nếu muốn kiểm, gửi riêng hàm số và kết quả của mình, kèm yêu cầu: "Thay hai giá trị x ở hai bên điểm em tìm được vào hàm, xem có đúng là nhỏ hơn không." Yêu cầu một phép kiểm bằng số cụ thể thì câu trả lời của AI dễ đối chiếu hơn nhiều so với một lời khen chung chung "lời giải của em đúng".
Một cách luyện khác: kể cho AI một tình huống thật trong nhà, ví dụ muốn kê một cái kệ vào góc phòng hay chia một mảnh vườn, rồi nhờ nó biến thành bài toán tối ưu mức lớp 12 với số dễ tính. Bạn tự giải, sau đó bàn với nó xem mô hình đã bỏ qua những yếu tố thực tế nào. Nếu đề lấy từ phiếu bài tập của lớp có ghi tên trường, tên học sinh, cắt phần đó đi trước khi chụp gửi.
Kiểm kết quả bằng bảng tính và phần mềm vẽ đồ thị
Bài tối ưu có một lợi thế: kết quả luôn kiểm được bằng cách thử nhiều giá trị. Mở một bảng tính, cột A ghi x từ 0 đến 6 với bước 0,5, cột B gõ công thức thể tích hộp. Bạn sẽ thấy cột B tăng dần, đạt đỉnh 128 ở dòng x = 2, rồi giảm về 0. Nếu đỉnh của bảng nằm ở chỗ khác với kết quả bạn tính, chắc chắn có chỗ sai trong hàm hoặc trong đạo hàm.
Với phần mềm vẽ đồ thị, nhập V(x) = x(12 − 2x)^2 và giới hạn trục hoành từ 0 đến 6. Đỉnh của đường cong hiện ngay ở (2; 128). Phần mềm còn cho thấy điều bảng số khó thấy: quanh đỉnh, đồ thị khá phẳng, nghĩa là cắt x = 1,8 hay x = 2,2 thì thể tích chỉ hụt một chút. Đây là một ý rất thực tế: ngoài đời, sai số đo đạc nhỏ quanh điểm tối ưu không làm hỏng kết quả.
Thứ tự vẫn như mọi bài khác trong danh mục: tự làm trước, máy kiểm sau. Một bảng tính hay một hình vẽ đúng không thay được bài trình bày có lập luận, nhưng nó cho bạn sự tự tin rằng con số mình viết ra là đúng.
Câu hỏi thường gặp
Có cần lập bảng biến thiên khi tìm giá trị lớn nhất trên đoạn không?
Không bắt buộc. Với hàm liên tục trên đoạn, chỉ cần tính giá trị tại hai đầu mút và tại các điểm tới hạn nằm trong đoạn rồi so sánh. Bảng biến thiên có ích khi xét trên khoảng mở hoặc khi đề hỏi thêm về chiều biến thiên.
Trên khoảng mở thì tìm giá trị lớn nhất thế nào?
Trên khoảng mở không có đầu mút để so, nên phải lập bảng biến thiên và xem hàm đi về đâu ở hai đầu khoảng. Có trường hợp hàm không có giá trị lớn nhất, chẳng hạn khi một đầu tiến ra vô cực.
Bài tối ưu có nghiệm đạo hàm nằm ngoài miền thì làm gì?
Bỏ nghiệm đó đi, vì nó không ứng với tình huống thực. Nếu bên trong miền không còn điểm tới hạn nào, giá trị cần tìm nằm ở đầu mút hoặc không tồn tại, tuỳ miền là đoạn hay khoảng.
AI giải bài tối ưu có đáng tin không?
Phần tính toán thường ổn, nhưng phần dựng hàm từ đề và phần xác định miền của biến hay sai, mà một hàm dựng sai thì mọi bước sau đều vô nghĩa. Luôn tự kiểm hàm số bằng cách thay một giá trị cụ thể và đối chiếu với hình.
Có cách nào giải bài tối ưu mà không dùng đạo hàm không?
Có. Bài nào ra hàm bậc hai thì dùng đỉnh parabol. Một số bài dùng được bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Nhưng đạo hàm là cách chung nhất, áp dụng được cho mọi hàm trơn ở phổ thông.
Giá trị lớn nhất có thể đạt tại nhiều điểm không?
Có. Giá trị lớn nhất là một con số duy nhất, nhưng hàm có thể đạt con số đó tại nhiều điểm khác nhau, như ví dụ trên đoạn từ âm hai đến năm trong bài. Khi kết luận, nêu đủ các điểm.