Hai tam giác bằng nhau khi có thể đặt chồng khít lên nhau: ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau và ba cặp góc tương ứng bằng nhau. Để chứng minh, bạn không cần chỉ ra đủ sáu cặp; chỉ cần ba yếu tố đúng kiểu, theo một trong ba trường hợp: cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c), cạnh – góc – cạnh (c.g.c) với góc xen giữa, hoặc góc – cạnh – góc (g.c.g) với cạnh xen giữa.
Đây là công cụ chứng minh dùng nhiều nhất ở hình học THCS: muốn chứng minh hai đoạn bằng nhau hay hai góc bằng nhau, cách thường gặp là tìm hai tam giác chứa chúng rồi chứng minh hai tam giác đó bằng nhau. Bài này giải thích vì sao ba trường hợp đúng, vì sao “cạnh – cạnh – góc” không phải trường hợp bằng nhau, các trường hợp riêng của tam giác vuông, và cách nhờ AI kiểm lời giải mà không nhờ nó giải hộ.
Tam giác bằng nhau nghĩa là gì, và vì sao thứ tự đỉnh quan trọng
Khi viết tam giác ABC bằng tam giác DEF, ký hiệu đó mang theo một thông tin ngầm: A ứng với D, B ứng với E, C ứng với F. Từ đó suy ra AB bằng DE, BC bằng EF, CA bằng FD, góc A bằng góc D, góc B bằng góc E, góc C bằng góc F. Viết đảo thứ tự, chẳng hạn tam giác ABC bằng tam giác EDF, là khẳng định một điều khác hẳn và có thể sai.
Lỗi viết sai thứ tự đỉnh rất phổ biến và thường không bị phát hiện ngay, vì kết luận chính vẫn đúng. Vấn đề xuất hiện ở bước sau: bạn suy ra “góc tương ứng” sai và cả phần còn lại của bài đi lệch. Cách tránh đơn giản là trước khi viết ký hiệu, đánh dấu trên hình các cặp yếu tố bằng nhau bằng cùng số gạch hoặc cùng số cung, rồi đọc đỉnh theo đúng các dấu đó.
Một cách nghĩ trực quan: hai tam giác bằng nhau là hai miếng giấy cắt ra giống hệt nhau. Có thể phải xoay, trượt, thậm chí lật mặt một miếng mới đặt khít lên miếng kia. Vì thế hai tam giác bằng nhau có thể trông “ngược chiều” trên hình vẽ, và mắt bạn dễ ghép nhầm đỉnh. Thứ tự đỉnh trong ký hiệu chính là ghi lại cách đặt khít đó.
Ba trường hợp bằng nhau và điều kiện đi kèm
Mỗi trường hợp có một điều kiện về vị trí mà học sinh hay quên. Bảng dưới đặt điều kiện đó cạnh tên trường hợp để bạn nhìn một lần là nhớ.
| Trường hợp | Cần ba yếu tố nào | Điều kiện hay quên |
|---|---|---|
| Cạnh – cạnh – cạnh | Ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau | Không cần góc nào; cẩn thận ghép đúng cặp cạnh |
| Cạnh – góc – cạnh | Hai cặp cạnh và một cặp góc bằng nhau | Góc phải là góc xen giữa hai cạnh đó |
| Góc – cạnh – góc | Hai cặp góc và một cặp cạnh bằng nhau | Cạnh phải là cạnh xen giữa hai góc đó (cạnh kề cả hai góc) |
Với trường hợp góc – cạnh – góc, nếu đề cho hai góc và một cạnh không xen giữa, bạn vẫn xử lý được: vì tổng ba góc của tam giác là 180 độ, hai cặp góc bằng nhau kéo theo cặp góc thứ ba bằng nhau, rồi chọn lại hai góc kề cạnh đã cho. Bước này phải viết ra trong lời giải, không được ngầm hiểu.
Một chi tiết trình bày: sau khi liệt kê ba yếu tố, ghi rõ tên trường hợp trong ngoặc, ví dụ “(c.g.c)”. Người chấm cần thấy bạn biết mình đang dùng trường hợp nào và đã kiểm điều kiện xen giữa.
Vì sao “cạnh – cạnh – góc” không phải là trường hợp bằng nhau
Nhiều học sinh hỏi: đã có cạnh – góc – cạnh, sao không có cạnh – cạnh – góc với góc không xen giữa? Câu trả lời là với cùng hai cạnh và một góc không xen giữa, có thể dựng được hai tam giác khác nhau. Bạn tự kiểm được bằng thước và compa.
Làm thử như sau, với số đo là ví dụ giả định: vẽ một tia Bx, dựng góc B bằng 30 độ với cạnh BA dài 6 cm. Từ A, quay compa bán kính 4 cm. Vì khoảng cách từ A tới tia Bx bằng 6 nhân sin 30 độ, tức 3 cm, nhỏ hơn 4 cm, cung tròn cắt tia Bx tại hai điểm C1 và C2. Hai tam giác ABC1 và ABC2 đều có AB bằng 6 cm, AC bằng 4 cm, góc B bằng 30 độ, nhưng cạnh BC khác nhau rõ rệt. Hai tam giác đó không bằng nhau.
Trường hợp này chỉ “được cứu” khi góc đã cho đối diện với cạnh lớn hơn trong hai cạnh đã cho, hoặc khi góc đó là góc vuông. Tam giác vuông chính là ngoại lệ quan trọng nhất, nên sách giáo khoa tách riêng trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông. Ở phổ thông, bạn không dùng cạnh – cạnh – góc như một trường hợp chung; gặp tình huống đó thì tìm thêm yếu tố khác hoặc chuyển sang trường hợp tam giác vuông nếu có.
Đây là câu hỏi đáng đem đi hỏi AI theo kiểu “vì sao”, vì nó giúp bạn hiểu chứ không chỉ nhớ. Sau khi AI giải thích, tự dựng lại bằng compa để thấy tận mắt hai giao điểm.
Các trường hợp bằng nhau riêng của tam giác vuông
Hai cạnh góc vuông. Hai tam giác vuông có hai cặp cạnh góc vuông bằng nhau thì bằng nhau. Đây thực chất là cạnh – góc – cạnh với góc xen giữa là góc vuông.
Một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề. Hai tam giác vuông có một cặp cạnh góc vuông bằng nhau và cặp góc nhọn kề cạnh ấy bằng nhau thì bằng nhau. Đây là góc – cạnh – góc với một góc là góc vuông.
Cạnh huyền và một góc nhọn. Hai tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau và một cặp góc nhọn bằng nhau thì bằng nhau. Lý do: góc nhọn còn lại cũng bằng nhau vì cùng bằng 90 độ trừ góc đã cho, đưa về góc – cạnh – góc.
Cạnh huyền và một cạnh góc vuông. Hai tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau và một cặp cạnh góc vuông bằng nhau thì bằng nhau. Theo định lý Pythagore, cặp cạnh góc vuông còn lại cũng bằng nhau, đưa về cạnh – cạnh – cạnh. Đây là trường hợp duy nhất ở trên mà “cạnh – cạnh – góc không xen giữa” lại dùng được, nhờ góc vuông.
Khi nào nên nghĩ tới tam giác vuông. Hình có đường cao, đường vuông góc, hoặc khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng. Ví dụ quen thuộc: chứng minh mọi điểm trên tia phân giác của một góc cách đều hai cạnh của góc, dùng cạnh huyền – góc nhọn cho hai tam giác vuông có chung cạnh huyền.
Quy trình tìm cặp tam giác cần chứng minh
Đề thường không nói tam giác nào bằng tam giác nào. Phần khó nhất là tìm ra cặp đó. Quy trình dưới đây biến việc “nhìn ra” thành các bước có thể làm theo.
- Viết kết luận cần chứng minh, ví dụ “MA bằng MB” hoặc “góc AMB bằng góc AMC”.
- Liệt kê mọi tam giác trên hình có chứa đoạn MA, rồi mọi tam giác chứa đoạn MB. Tô hai nhóm bằng hai màu.
- Tìm cặp tam giác, mỗi nhóm một tam giác, trông có vẻ bằng nhau trên hình. Thường là hai tam giác đối xứng qua một đường hoặc có chung một cạnh.
- Với cặp đó, liệt kê các yếu tố đã biết bằng nhau: từ giả thiết, cạnh chung, góc chung, góc đối đỉnh, góc tạo bởi hai đường song song.
- Kiểm xem ba yếu tố có khớp một trường hợp nào không, kể cả điều kiện xen giữa. Nếu chỉ có hai, tìm yếu tố thứ ba hoặc chuyển sang một cặp tam giác khác.
- Nếu không cặp nào đủ, có thể phải chứng minh qua một cặp tam giác trung gian trước, hoặc kẻ thêm đường phụ, chẳng hạn kéo dài trung tuyến một đoạn bằng chính nó.
Cạnh chung và góc đối đỉnh là hai nguồn yếu tố “miễn phí” mà học sinh hay bỏ sót. Khi thiếu yếu tố thứ ba, hãy nhìn hai thứ này trước khi nghĩ tới đường phụ.
Một lời giải mẫu trình bày đủ ý
Đề: cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Chứng minh AM vuông góc với BC. Kết luận là một góc vuông, nhưng con đường đi qua tam giác bằng nhau: nếu hai góc AMB và AMC bằng nhau, mà tổng của chúng là góc bẹt 180 độ, thì mỗi góc bằng 90 độ.
Xét tam giác AMB và tam giác AMC. Thứ nhất, AB bằng AC vì tam giác ABC cân tại A. Thứ hai, MB bằng MC vì M là trung điểm BC. Thứ ba, AM là cạnh chung. Vậy tam giác AMB bằng tam giác AMC theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh. Suy ra góc AMB bằng góc AMC, hai góc tương ứng. Hai góc này kề bù nên mỗi góc bằng 90 độ, tức AM vuông góc với BC.
Để ý ba chi tiết. Thứ tự đỉnh A–M–B ứng với A–M–C, nên góc tại M ứng với góc tại M. Mỗi yếu tố có lý do đi kèm. Và bước cuối từ “hai góc bằng nhau” sang “vuông góc” cần lý do riêng là hai góc kề bù; thiếu dòng này là bài hụt đúng ở chỗ kết luận.
Nhờ AI kiểm lời giải tam giác bằng nhau
Lời giải chứng minh tam giác bằng nhau có cấu trúc rất đều: xét hai tam giác, liệt kê ba yếu tố kèm lý do, kết luận theo trường hợp nào, rồi suy ra yếu tố tương ứng. Cấu trúc đều như vậy rất hợp để nhờ AI soát, vì lỗi thường rơi vào vài chỗ cố định: sai điều kiện xen giữa, sai thứ tự đỉnh, hoặc một yếu tố được coi là bằng nhau mà không có lý do.
Bạn có thể gửi: “Đề: (chép đề bằng lời). Lời giải của em: (chép lời giải). Kiểm giúp em ba điều: góc trong trường hợp c.g.c có đúng là góc xen giữa không, thứ tự đỉnh có tương ứng không, và mỗi yếu tố bằng nhau có lý do hợp lệ không. Không viết lại lời giải.” Câu dặn cuối giữ cho bạn là người sửa bài, không phải người chép bài.
Cần đề phòng hai kiểu sai của AI. Một là nó tự thêm giả thiết từ hình nếu bạn gửi ảnh, ví dụ coi một tam giác là cân. Hai là nó khẳng định một bước đúng khi bước đó thực ra là cạnh – cạnh – góc trá hình. Khi AI nói lời giải ổn, bạn vẫn tự hỏi lại câu “góc này có nằm giữa hai cạnh không” với chính hình của mình. Nếu cần luyện thêm, nhờ AI ra ba bài tương tự cùng độ khó, rồi tự làm và chỉ hỏi lại khi kẹt.
Câu hỏi thường gặp
Góc – góc – góc có phải trường hợp bằng nhau không?
Không. Hai tam giác có ba cặp góc bằng nhau chỉ chắc chắn cùng hình dạng, còn kích thước có thể khác nhau, ví dụ một tam giác đều cạnh 2 cm và một tam giác đều cạnh 5 cm. Quan hệ đó gọi là đồng dạng, không phải bằng nhau. Muốn bằng nhau phải có ít nhất một cặp cạnh bằng nhau đặt đúng vị trí.
Có cần ghi lý do cho cạnh chung không?
Có, nhưng ngắn gọn. Chỉ cần viết “AM là cạnh chung” trong danh sách yếu tố. Người chấm cần thấy bạn đã nhận ra yếu tố đó và biết vì sao nó bằng chính nó ở cả hai tam giác. Bỏ hẳn dòng này là bài thiếu một trong ba yếu tố.
Hai tam giác bằng nhau thì diện tích bằng nhau, điều ngược lại có đúng không?
Không. Hai tam giác có cùng diện tích có thể có hình dạng rất khác nhau, chẳng hạn tam giác đáy 6 cao 2 và tam giác đáy 3 cao 4 đều có diện tích 6 đơn vị vuông. Bằng nhau là điều kiện mạnh hơn nhiều, đòi hỏi đặt chồng khít được.
Tam giác cân và tam giác bằng nhau liên quan thế nào?
Đường cao từ đỉnh của tam giác cân chia nó thành hai tam giác vuông bằng nhau, theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông. Từ đó suy ra hai góc đáy bằng nhau và chân đường cao là trung điểm đáy. Nhiều tính chất của tam giác cân được chứng minh đúng theo cách này.
Có nên học thuộc lòng lời giải mẫu không?
Học cấu trúc trình bày thì nên, học thuộc nội dung từng bài thì ít giá trị vì đề đổi một chi tiết là lời giải cũ không dùng được. Tốt hơn là tự làm lại bài mẫu sau một vài ngày mà không nhìn, rồi so với bài mẫu để thấy chỗ mình còn hổng.