Hai đại lượng y và x tỉ lệ thuận khi y = k × x với k là một hằng số khác 0, nghĩa là thương y/x luôn không đổi. Hai đại lượng tỉ lệ nghịch khi x × y = a với a là hằng số khác 0, nghĩa là tích của chúng luôn không đổi. Ví dụ: cùng một loại dây, chiều dài và khối lượng tỉ lệ thuận; cùng một quãng đường, vận tốc và thời gian đi tỉ lệ nghịch.
Phần này ở lớp 7 nghe đơn giản nhưng là chỗ học sinh hay mắc một lỗi dai dẳng: thấy "cái này tăng thì cái kia tăng" là kết luận tỉ lệ thuận, thấy "cái này tăng thì cái kia giảm" là kết luận tỉ lệ nghịch. Cả hai suy luận đó đều sai. Bài dưới đây đưa ra cách kiểm chắc chắn, các tính chất dùng để giải bài, dạng chia tỉ lệ hay gặp và cách nhờ AI hoặc bảng tính để thấy quan hệ thay vì đoán.
Hai câu hỏi kiểm thay cho cảm giác "cùng tăng, cùng giảm"
Câu hỏi thứ nhất dành cho tỉ lệ thuận: khi x gấp lên 2 lần, 3 lần, y có gấp lên đúng 2 lần, 3 lần không, và khi x bằng 0 thì y có bằng 0 không? Ví dụ giả định: 3 m dây đồng nặng 120 g. Dây cùng loại dài 6 m nặng 240 g, dài 7 m nặng 280 g. Thương khối lượng trên chiều dài luôn là 40 g/m, nên khối lượng tỉ lệ thuận với chiều dài, hệ số tỉ lệ k = 40.
Câu hỏi thứ hai dành cho tỉ lệ nghịch: khi x gấp lên 2 lần, y có giảm đi đúng 2 lần không, tức là tích x × y có giữ nguyên không? Ví dụ giả định: 6 công nhân làm xong một việc trong 10 ngày. Nếu năng suất mỗi người như nhau, tổng công là 6 × 10 = 60 ngày công. Có 15 công nhân thì cần 60 : 15 = 4 ngày, có 12 công nhân thì cần 5 ngày. Tích số người với số ngày luôn là 60, nên hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số a = 60.
Bây giờ thử một quan hệ "cùng tăng" nhưng không tỉ lệ: tuổi và chiều cao của một em bé. Mười tuổi không cao gấp đôi năm tuổi, nên không qua được câu hỏi thứ nhất. Một quan hệ "ngược chiều" nhưng không tỉ lệ nghịch: số trang đã đọc và số trang còn lại của một cuốn sách 200 trang. Tổng của chúng không đổi, chứ không phải tích, nên đây là quan hệ khác hẳn. Học sinh tập thói quen đặt hai câu hỏi kiểm này trước khi viết công thức sẽ tránh được phần lớn lỗi của chương.
Đặt tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch cạnh nhau
Bảng dưới gom định nghĩa, tính chất và ví dụ của hai loại quan hệ. Các con số đã được tính lại.
| Tiêu chí | Tỉ lệ thuận | Tỉ lệ nghịch |
|---|---|---|
| Công thức | y = k × x (k khác 0) | x × y = a, hay y = a/x (a khác 0) |
| Đại lượng không đổi | Thương y/x = k | Tích x × y = a |
| Chiều ngược lại | x tỉ lệ thuận với y theo hệ số 1/k | x tỉ lệ nghịch với y, vẫn hệ số a |
| Tính chất tỉ số | x1/x2 = y1/y2 | x1/x2 = y2/y1 (đảo ngược) |
| Ví dụ | Dây đồng: 3 m nặng 120 g, 7 m nặng 280 g | Quãng đường 120 km: đi 40 km/h hết 3 giờ, 60 km/h hết 2 giờ |
| Hình dung | Các cặp (x; y) nằm trên một đường thẳng đi qua gốc toạ độ | Các cặp (x; y) nằm trên một đường cong, không đi qua gốc toạ độ |
Dòng "chiều ngược lại" là chỗ hay bị hỏi mẹo. Nếu y = 40x thì x = y/40, nên x tỉ lệ thuận với y theo hệ số 1/40, không phải 40. Với tỉ lệ nghịch thì hệ số giữ nguyên, vì x × y = 60 cũng chính là y × x = 60.
Dòng "tính chất tỉ số" giải thích vì sao bài tỉ lệ nghịch thường phải đảo phân số. Ở ví dụ quãng đường, vận tốc tăng từ 40 lên 60, tức gấp 3/2 lần, thì thời gian giảm từ 3 giờ xuống 2 giờ, tức bằng 2/3 lần cũ. Học sinh viết nhầm thành 3/2 lần sẽ ra 4,5 giờ, một kết quả sai chiều mà chỉ cần hỏi "đi nhanh hơn thì lâu hơn à?" là tự phát hiện được.
Tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau: công cụ của mọi bài chia tỉ lệ
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số, a/b = c/d. Tính chất cơ bản là tích chéo bằng nhau: a × d = b × c. Từ đó tìm được một số chưa biết, ví dụ x/12 = 5/8 thì x = 12 × 5 : 8 = 7,5. Đây là phép "nhân chéo chia ngang" mà học sinh dùng từ tiểu học khi giải bài rút về đơn vị, giờ có tên gọi và lý do rõ ràng.
Dãy tỉ số bằng nhau mạnh hơn một bước. Nếu a/b = c/d = e/f thì các tỉ số đó cũng bằng (a + c + e)/(b + d + f), với điều kiện mẫu khác 0. Lý do dễ thấy: nếu mỗi tỉ số bằng k thì a = kb, c = kd, e = kf, cộng lại được a + c + e = k(b + d + f). Tính chất này cho phép biết tổng mà tìm từng phần, đúng là việc bài chia tỉ lệ yêu cầu.
Hiệu cũng dùng được: a/b = c/d = (a − c)/(b − d) khi b khác d. Ví dụ giả định: số học sinh nam và nữ của một lớp tỉ lệ với 4 và 5, số nữ nhiều hơn số nam 4 em. Đặt nam/4 = nữ/5 = (nữ − nam)/(5 − 4) = 4. Vậy nam có 16 em, nữ có 20 em. Kiểm: 20 − 16 = 4 và 16/20 = 4/5, đúng. Thói quen kiểm lại cả hai điều kiện của đề là bước học sinh hay bỏ nhất.
Giải bài chia tỉ lệ từng bước, cả thuận lẫn nghịch
Hai ví dụ giả định dưới đây theo cùng một trình tự. Bài thuận: chia 120 quyển vở cho ba tổ theo tỉ lệ 3, 4, 5. Bài nghịch: ba đội máy làm ba khối lượng công việc như nhau, xong lần lượt trong 4, 6 và 8 ngày, cả ba đội có tổng cộng 26 máy cùng năng suất, hỏi mỗi đội bao nhiêu máy.
- Gọi tên ẩn và điều kiện: số vở ba tổ là x, y, z (số tự nhiên); số máy ba đội là m, n, p (số tự nhiên khác 0).
- Xác định loại quan hệ bằng hai câu hỏi kiểm. Số vở tỉ lệ thuận với 3, 4, 5 theo đề. Với đội máy, cùng một khối lượng việc thì nhiều máy hơn xong sớm hơn theo đúng tỉ lệ, tích số máy với số ngày không đổi, nên số máy tỉ lệ nghịch với số ngày.
- Viết dãy tỉ số. Thuận: x/3 = y/4 = z/5. Nghịch: 4m = 6n = 8p, đổi thành m/(1/4) = n/(1/6) = p/(1/8). Chuyển tỉ lệ nghịch về tỉ lệ thuận với các số nghịch đảo là bước then chốt.
- Dùng tổng. Thuận: x/3 = y/4 = z/5 = 120/12 = 10. Nghịch: 1/4 + 1/6 + 1/8 = 6/24 + 4/24 + 3/24 = 13/24, nên mỗi tỉ số bằng 26 : 13/24 = 48.
- Tính từng phần. Thuận: x = 30, y = 40, z = 50. Nghịch: m = 48/4 = 12, n = 48/6 = 8, p = 48/8 = 6.
- Kiểm cả hai điều kiện. 30 + 40 + 50 = 120 và 30 : 40 : 50 = 3 : 4 : 5. 12 + 8 + 6 = 26, và 12 × 4 = 8 × 6 = 6 × 8 = 48, tích không đổi.
Con số 48 ở bài nghịch có nghĩa thật: đó là tổng "máy ngày" của mỗi phần việc. Hiểu được ý nghĩa này, học sinh sẽ thấy cách giải không phải mẹo biến đổi mà là đếm công việc theo một đơn vị chung.
Những quan hệ trông giống tỉ lệ nhưng không phải
Có phần cố định ban đầu. Ví dụ giả định: một dịch vụ thu phí mở cửa 10 nghìn đồng rồi 12 nghìn đồng mỗi ki-lô-mét. Đi 1 km trả 22 nghìn, đi 2 km trả 34 nghìn, quãng đường gấp đôi mà tiền không gấp đôi. Đây là quan hệ dạng y = ax + b, học ở lớp trên, không phải tỉ lệ thuận.
Tổng không đổi chứ không phải tích không đổi. Số trang đã đọc và số trang còn lại, số tuổi của hai anh em sau mỗi năm, số học sinh nam và nữ trong một lớp cố định sĩ số. Một bên tăng thì bên kia giảm, nhưng giảm bằng đúng phần tăng, không theo tỉ lệ.
Chỉ tỉ lệ trong một khoảng. Thời gian đun nước và lượng nước có thể gần tỉ lệ thuận với lượng nhỏ, nhưng ấm có giới hạn và nhiệt thất thoát. Bài toán sách giáo khoa luôn ngầm giả thiết "các điều kiện khác như nhau"; khi áp vào đời thực, học sinh nên nói rõ giả thiết đó.
Năng suất không đều. Bài công nhân chỉ tỉ lệ nghịch khi mọi người làm như nhau và công việc chia được. Mười người đào một cái giếng hẹp không xong nhanh gấp mười lần một người. Đây là câu hỏi hay để thảo luận khi học sinh hỏi "học cái này để làm gì".
Nhờ AI và bảng tính để thấy quan hệ, không để đoán hộ
AI giải thích ý nghĩa tỉ lệ khá tốt, còn bảng tính giúp nhìn thấy quan hệ bằng số. Vài cách dùng và câu lệnh mẫu:
- Lập bảng hai cột x và y trong bảng tính, thêm một cột y/x và một cột x × y. Cột nào ra cùng một số ở mọi dòng thì biết ngay quan hệ là thuận hay nghịch. Vẽ thử biểu đồ điểm sẽ thấy đường thẳng qua gốc hay đường cong.
- Hỏi nghĩa: "Em hiểu tỉ lệ thuận là y = kx nhưng không hiểu hệ số k có nghĩa gì trong bài dây đồng. Giải thích bằng lời, không dùng công thức mới."
- Luyện nhận biết: "Cho em tám tình huống đời sống, có cái tỉ lệ thuận, có cái tỉ lệ nghịch, có cái không tỉ lệ. Em trả lời trước, sau đó mới cho đáp án và lý do."
- Kiểm bài: "Em giải bài chia tỉ lệ nghịch ra 12, 8, 6. Kiểm bằng cách thay lại vào đề, chỉ nói đúng hay sai và sai ở bước nào."
- Cảnh giác: chatbot đôi khi coi mọi quan hệ ngược chiều là tỉ lệ nghịch, hoặc quên đảo số khi chia tỉ lệ nghịch. Luôn tự kiểm tích hoặc thương không đổi.
- Khi chụp đề gửi AI, cắt bỏ tên, lớp, trường. Không dùng AI để làm bài kiểm tra hay bài về nhà thay mình.
Bảng tính đặc biệt hữu ích cho phụ huynh muốn kèm con: không cần nhớ lại công thức, chỉ cần cùng con nhập số và nhìn cột nào đứng yên. Cách này biến một định nghĩa khô thành một quan sát con tự làm được.
Câu hỏi thường gặp
Làm sao phân biệt tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch nhanh nhất?
Lấy hai cặp giá trị bất kỳ rồi tính cả thương y/x lẫn tích x nhân y. Thương không đổi là tỉ lệ thuận, tích không đổi là tỉ lệ nghịch, không cái nào đứng yên thì không tỉ lệ. Đừng dựa vào cảm giác cùng tăng hay ngược chiều.
Hệ số tỉ lệ có thể là số âm không?
Có, định nghĩa chỉ yêu cầu hệ số khác 0. Ví dụ y = −2x là tỉ lệ thuận với hệ số −2, khi đó x tăng thì y giảm. Đây cũng là lý do câu "cùng tăng là tỉ lệ thuận" không đúng về mặt toán học.
Vì sao chia tỉ lệ nghịch lại phải dùng số nghịch đảo?
Vì tỉ lệ nghịch với các số 4, 6, 8 cũng chính là tỉ lệ thuận với 1/4, 1/6, 1/8. Đổi như vậy để dùng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau với tổng đã biết, rồi tính từng phần như bài tỉ lệ thuận.
Tỉ lệ thức khác tỉ số thế nào?
Tỉ số là thương của hai số, ví dụ 3/4. Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số bằng nhau, ví dụ 3/4 bằng 6/8. Tính chất dùng nhiều nhất của tỉ lệ thức là tích các số hạng chéo bằng nhau.
Bài toán năng suất có phải lúc nào cũng tỉ lệ nghịch không?
Chỉ khi giả thiết mọi người hoặc mọi máy làm cùng năng suất và công việc chia đều được. Sách giáo khoa ngầm giả thiết điều này. Khi áp dụng vào việc thật, bạn nên nói rõ giả thiết vì nhiều việc không thể chia nhỏ tuỳ ý.
Có nên dùng AI để giải bài tỉ lệ không?
Nên dùng để hỏi ý nghĩa, xin thêm tình huống luyện nhận biết và kiểm bài mình đã tự giải. Không nên để AI giải hộ, vì phần cần luyện chính là bước nhận ra loại quan hệ, mà bước đó AI làm thay thì mình không học được gì.