Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x^2 = a. Mỗi số dương a có đúng hai căn bậc hai đối nhau; căn bậc hai không âm được gọi là căn bậc hai số học và viết là căn a. Số 0 có một căn bậc hai là 0, số âm không có căn bậc hai trong tập số thực. Ví dụ 9 có hai căn bậc hai là 3 và −3, còn căn bậc hai số học của 9 là 3.
Căn bậc hai xuất hiện ở lớp 7 cùng với số vô tỉ và số thực, rồi quay lại ở lớp 9 với các phép biến đổi căn thức. Hai lần gặp nối với nhau bằng một ý: căn của một số không chính phương, như căn 2, không viết được thành phân số, nên phải giữ dạng căn khi tính chính xác. Bài dưới đây đi từ hình vuông đến quy tắc, các lỗi biến đổi hay gặp và cách dùng máy tính, AI để kiểm.
Căn bậc hai bắt đầu từ cạnh của hình vuông
Hình vuông có diện tích 25 cm2 thì cạnh dài 5 cm, vì 5^2 = 25. Câu hỏi "cạnh bằng bao nhiêu khi biết diện tích" chính là phép khai căn bậc hai. Hình ảnh này giải thích luôn vì sao trong đo đạc chỉ lấy căn bậc hai số học: độ dài không thể âm. Còn khi giải phương trình x^2 = 25, cả x = 5 và x = −5 đều thoả mãn, nên viết x = 5 hoặc x = −5.
Nhiều học sinh viết căn 25 = ±5, đây là lỗi ký hiệu. Theo quy ước, ký hiệu căn chỉ căn bậc hai số học, luôn không âm, nên căn 25 = 5. Dấu ± chỉ xuất hiện khi giải phương trình, lúc mình tìm mọi số có bình phương bằng 25.
Một hoạt động đáng làm với trẻ lớp 7: cắt hai hình vuông cạnh 1 đơn vị, mỗi hình cắt đôi theo đường chéo thành hai tam giác, ghép bốn tam giác lại thành một hình vuông mới. Hình mới có diện tích 2, nên cạnh của nó là căn 2, chính là đường chéo của hình vuông cạnh 1. Trẻ thấy căn 2 là một độ dài có thật, đo được bằng thước, dù không viết gọn được bằng số thập phân.
Số vô tỉ: vì sao căn 2 không bao giờ "chia hết"
Có thể ước lượng căn 2 bằng cách kẹp. 1,4^2 = 1,96 nhỏ hơn 2, còn 1,5^2 = 2,25 lớn hơn 2, nên căn 2 nằm giữa 1,4 và 1,5. Tiếp tục: 1,41^2 = 1,9881 và 1,42^2 = 2,0164, nên căn 2 nằm giữa 1,41 và 1,42. Làm mãi như vậy, các chữ số thập phân không bao giờ dừng và cũng không lặp lại theo chu kỳ. Giá trị thường dùng là căn 2 xấp xỉ 1,414 và căn 3 xấp xỉ 1,732.
Số có biểu diễn thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô tỉ. Số hữu tỉ, tức số viết được thành phân số, thì thập phân hoặc hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn, như đã thấy ở bài số thập phân vô hạn tuần hoàn. Số hữu tỉ và số vô tỉ hợp lại thành tập số thực. Căn của một số tự nhiên chỉ là số tự nhiên khi số đó là số chính phương, như 1, 4, 9, 16, 25; còn lại đều là số vô tỉ.
Chứng minh căn 2 vô tỉ dùng lập luận phản chứng và thuộc phần đọc thêm; điều học sinh cần ở mức phổ thông là hệ quả thực hành: muốn kết quả chính xác thì giữ nguyên dạng căn, như 3 căn 2, thay vì viết 4,24. Chỉ khi đề yêu cầu giá trị gần đúng mới bấm máy và làm tròn ở bước cuối.
Các quy tắc biến đổi căn thức và điều kiện đi kèm
Mỗi quy tắc chỉ đúng khi điều kiện được thoả. Bảng dưới ghi quy tắc, điều kiện và một ví dụ đã kiểm.
| Quy tắc | Điều kiện | Ví dụ |
|---|---|---|
| căn (A^2) = |A| | mọi A | căn ((−3)^2) = căn 9 = 3 = |−3| |
| căn (ab) = căn a × căn b | a ≥ 0, b ≥ 0 | căn 50 = căn 25 × căn 2 = 5 căn 2 |
| căn (a/b) = căn a / căn b | a ≥ 0, b > 0 | căn (9/16) = 3/4 |
| Đưa thừa số ra ngoài: căn (A^2 × B) = |A| căn B | B ≥ 0 | căn 72 = căn (36 × 2) = 6 căn 2 |
| Đưa thừa số vào trong: A căn B = căn (A^2 × B) | A ≥ 0, B ≥ 0 | 2 căn 3 = căn 12 |
| Trục căn ở mẫu dạng 1/căn a | a > 0 | 1/căn 2 = căn 2 / 2 |
| Trục căn ở mẫu dạng 1/(căn a − b), nhân với biểu thức liên hợp | a ≥ 0, a khác b^2 | 1/(căn 3 − 1) = (căn 3 + 1)/2 |
Không có quy tắc nào cho tổng. Căn (9 + 16) = căn 25 = 5, trong khi căn 9 + căn 16 = 3 + 4 = 7. Đây là lỗi hay gặp nhất của cả chương, và một ví dụ số nhỏ như vậy là đủ để tự bác bỏ.
Đưa thừa số vào trong giúp so sánh hai căn thức. So sánh 2 căn 3 và 3 căn 2: đổi thành căn 12 và căn 18, nên 3 căn 2 lớn hơn. Dòng trục căn cuối bảng dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: (căn 3 − 1)(căn 3 + 1) = 3 − 1 = 2.
Rút gọn biểu thức chứa căn từng bước
Dạng bài lớp 9 hay gặp nhất là rút gọn. Trình tự sau dùng được cho cả biểu thức số lẫn biểu thức chứa biến:
- Viết điều kiện xác định trước tiên: mọi biểu thức dưới dấu căn phải không âm, mọi mẫu phải khác 0. Với biểu thức có căn x và mẫu căn x − 1, điều kiện là x ≥ 0 và x khác 1.
- Phân tích số dưới dấu căn ra tích có thừa số chính phương: 18 = 9 × 2, 8 = 4 × 2, 32 = 16 × 2.
- Đưa thừa số ra ngoài để được các căn đồng dạng: căn 18 + căn 8 − căn 32 = 3 căn 2 + 2 căn 2 − 4 căn 2.
- Cộng trừ các căn đồng dạng như cộng trừ đơn thức đồng dạng: (3 + 2 − 4) căn 2 = căn 2.
- Với biểu thức chứa biến, tìm hằng đẳng thức ẩn: x − 1 = (căn x − 1)(căn x + 1) khi x ≥ 0. Nên (x − 1)/(căn x − 1) = căn x + 1, với x ≥ 0 và x khác 1.
- Kiểm bằng cách thay một giá trị cụ thể thoả điều kiện: x = 4 cho (4 − 1)/(2 − 1) = 3 và căn 4 + 1 = 3, khớp. Một giá trị khớp chưa chứng minh được, nhưng một giá trị lệch là chắc chắn đã sai.
Bước kiểm bằng thay số rất rẻ và bắt được phần lớn lỗi biến đổi. Với biểu thức số, bấm máy cả biểu thức ban đầu lẫn kết quả rút gọn: căn 18 + căn 8 − căn 32 và căn 2 đều xấp xỉ 1,414.
Lỗi hay gặp và cách tự bắt
Tách căn của tổng. Viết căn (a + b) = căn a + căn b. Tự bắt bằng ví dụ căn (9 + 16) ở trên. Lỗi này hay xuất hiện lại dưới dạng căn (x^2 + 9) = x + 3, cũng sai.
Quên trị tuyệt đối. Viết căn ((x − 3)^2) = x − 3. Đúng phải là |x − 3|, chỉ bỏ được trị tuyệt đối khi biết x ≥ 3. Thử x = 1: vế trái căn 4 = 2, còn x − 3 = −2, lệch dấu.
Quên điều kiện xác định. Rút gọn xong mà không ghi điều kiện, hoặc chia cho căn x − 1 mà quên x khác 1. Kết quả rút gọn có thể xác định tại những giá trị biểu thức ban đầu không xác định, nên điều kiện phải đi kèm đến dòng cuối.
Bình phương hai vế rồi không thử lại. Giải căn (x + 2) = x: bình phương được x + 2 = x^2, tức x^2 − x − 2 = 0, nghiệm x = 2 hoặc x = −1. Thử lại x = −1: căn 1 = 1 khác −1, phải loại. Chỉ x = 2 là nghiệm. Bình phương có thể sinh nghiệm ngoại lai, nên thử lại là bắt buộc.
Máy tính, AI và cách kiểm
Máy tính cầm tay và AI giúp kiểm nhanh, nhưng mỗi thứ có chỗ hay đánh lừa. Câu lệnh mẫu và lưu ý:
- Máy tính cầm tay cho giá trị gần đúng, nên dùng để kiểm hai biểu thức có bằng nhau không, không dùng để thay kết quả dạng căn mà đề yêu cầu.
- "Em rút gọn căn 18 + căn 8 − căn 32 ra căn 2. Đừng giải lại, chỉ kiểm từng bước của em và nói bước nào sai nếu có."
- "Giải thích cho học sinh lớp 9 vì sao căn của A bình phương bằng trị tuyệt đối của A, dùng hai ví dụ số, một dương một âm."
- "Cho em năm biểu thức chứa căn để rút gọn, từ dễ đến khó, có đáp án để riêng ở cuối, em làm xong mới xem."
- Gõ đề bằng chữ rõ ràng như "căn (x + 2)" để AI không đọc nhầm phạm vi dấu căn. Ảnh chụp đề viết tay rất dễ làm AI hiểu căn x + 2 thành căn (x + 2) hoặc ngược lại.
- Kiểm lời giải AI bằng thay số và thử lại nghiệm. Chatbot hay bỏ trị tuyệt đối, quên điều kiện xác định, hoặc nhận cả nghiệm ngoại lai trong bài phương trình chứa căn. Không dùng AI để làm bài kiểm tra thay mình.
Một bài tập phản biện hữu ích: đưa cho AI lời giải cố ý viết căn ((x − 3)^2) = x − 3 và hỏi có đúng không. Nếu nó đồng ý, học sinh vừa có thêm một lần tự sửa lỗi, vừa nhớ lâu rằng lời giải trôi chảy chưa chắc đúng.
Câu hỏi thường gặp
Căn bậc hai và căn bậc hai số học khác nhau thế nào?
Mỗi số dương có hai căn bậc hai đối nhau, ví dụ 9 có 3 và −3. Căn bậc hai số học là căn không âm trong hai số đó, tức là 3. Ký hiệu dấu căn luôn chỉ căn bậc hai số học.
Vì sao số âm không có căn bậc hai?
Vì bình phương của mọi số thực đều không âm, nên không có số thực nào bình phương lên ra số âm. Ở chương trình phổ thông, điều này dẫn tới điều kiện xác định: biểu thức dưới dấu căn phải lớn hơn hoặc bằng 0.
Căn 2 bằng bao nhiêu?
Căn 2 là số vô tỉ, xấp xỉ 1,414, với các chữ số thập phân kéo dài mãi không theo chu kỳ. Khi đề yêu cầu kết quả chính xác, bạn giữ dạng căn 2; chỉ khi đề hỏi giá trị gần đúng mới làm tròn.
Có tách được căn của một tổng không?
Không. Căn của tích tách được thành tích các căn với số không âm, nhưng căn của tổng thì không. Ví dụ căn của 9 cộng 16 là căn 25 bằng 5, trong khi căn 9 cộng căn 16 bằng 7.
Trục căn thức ở mẫu để làm gì?
Để đưa biểu thức về dạng mẫu không chứa căn, giúp so sánh, cộng trừ các phân thức và tính gần đúng thuận tiện hơn. Ví dụ 1 chia căn 2 viết lại thành căn 2 chia 2 bằng cách nhân cả tử và mẫu với căn 2.
Vì sao giải phương trình chứa căn phải thử lại nghiệm?
Vì phép bình phương hai vế có thể sinh nghiệm ngoại lai, là giá trị thoả phương trình sau khi bình phương nhưng không thoả phương trình ban đầu. Thử lại từng nghiệm vào đề gốc là cách chắc chắn để loại chúng.