Cấp số cộng là dãy số mà mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, bằng số hạng đứng trước cộng với một số không đổi gọi là công sai d; cấp số nhân là dãy mà mỗi số hạng bằng số hạng đứng trước nhân với một số không đổi gọi là công bội q. Với cấp số cộng, số hạng thứ n là u1 + (n − 1)d và tổng n số hạng đầu là n(u1 + un)/2. Với cấp số nhân, số hạng thứ n là u1 nhân q^(n − 1) và tổng n số hạng đầu là u1(1 − q^n)/(1 − q) khi q khác 1.
Theo chương trình giáo dục phổ thông 2018, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân học ở lớp 11. Phần dưới đi từ chỗ nhìn ra quy luật, giải thích vì sao các công thức đúng thay vì chỉ đưa ra để thuộc, chỉ ra lỗi đếm số hạng mà học sinh lẫn chatbot hay mắc, rồi hướng dẫn kiểm mọi đáp số bằng bảng tính trong vài phút.
Dãy số là một quy luật được viết thành hàng
Một dãy số đơn giản là các số xếp theo thứ tự: số hạng thứ nhất, thứ hai, thứ ba và cứ thế tiếp. Có thể xem dãy số như một hàm số mà biến chỉ nhận các giá trị 1, 2, 3, …, còn giá trị của hàm là số hạng tương ứng. Cách nhìn này giải thích vì sao dãy số học sát chương hàm số: số hạng tổng quát un chính là công thức của hàm.
Thử nhìn hai dãy: 2, 5, 8, 11, 14 và 3, 6, 12, 24, 48. Ở dãy thứ nhất, mỗi bước cộng thêm 3. Ở dãy thứ hai, mỗi bước nhân đôi. Cả hai đều có quy luật đều đặn, nhưng cách tăng rất khác nhau. Sau năm bước, dãy cộng mới đến 14, còn dãy nhân đã đến 48. Sau hai mươi bước, dãy cộng mới đến 2 + 19 × 3 = 59, còn dãy nhân đã vượt một triệu rưỡi: 3 × 2^19 = 3 × 524 288 = 1 572 864.
Khi gặp một dãy lạ, câu hỏi đầu tiên nên là: hiệu hai số liên tiếp có không đổi không, và nếu không thì thương hai số liên tiếp có không đổi không. Hiệu không đổi là cấp số cộng, thương không đổi là cấp số nhân. Nếu cả hai đều không, dãy thuộc loại khác, và bạn không được dùng các công thức trong bài này. Nhiều bài làm sai ngay từ đầu chỉ vì thấy ba số đầu tăng đều rồi vội kết luận, mà không kiểm số thứ tư.
So sánh cấp số cộng và cấp số nhân
Bảng dưới đặt hai loại dãy cạnh nhau. Bạn nên tự viết lại bảng này vào vở, mỗi ô kèm một ví dụ của riêng mình, vì nhầm công thức giữa hai loại là lỗi phổ biến nhất của chương.
| Nội dung | Cấp số cộng | Cấp số nhân |
|---|---|---|
| Quy tắc từ số trước sang số sau | Cộng công sai d | Nhân công bội q |
| Cách nhận ra | Hiệu hai số liên tiếp không đổi | Thương hai số liên tiếp không đổi (các số khác 0) |
| Số hạng thứ n | un = u1 + (n − 1)d | un = u1 × q^(n − 1) |
| Tổng n số hạng đầu | Sn = n(u1 + un)/2, hay n(2u1 + (n − 1)d)/2 | Sn = u1(1 − q^n)/(1 − q) khi q khác 1; Sn = n × u1 khi q = 1 |
| Ba số liên tiếp a, b, c | b = (a + c)/2, số giữa là trung bình cộng | b^2 = a × c |
| Hình dạng khi vẽ điểm (n; un) | Các điểm nằm trên một đường thẳng | Các điểm nằm trên đường cong tăng hoặc giảm ngày càng nhanh, hoặc đổi dấu luân phiên khi q âm |
Dòng cuối bảng là một cách kiểm rất trực quan. Nếu bạn nhập dãy vào phần mềm vẽ đồ thị hoặc bảng tính rồi vẽ các điểm, cấp số cộng luôn cho các điểm thẳng hàng, vì un là một hàm bậc nhất của n. Cấp số nhân với q lớn hơn 1 cho đường cong dựng đứng dần, vì un là một hàm mũ của n.
Vì sao tổng cấp số cộng bằng n nhân trung bình của số đầu và số cuối
Câu chuyện quen thuộc kể rằng cậu bé Gauss tính nhanh tổng 1 + 2 + … + 100 bằng cách ghép cặp. Dù chi tiết câu chuyện được kể khác nhau, ý toán học thì rõ: viết tổng theo chiều xuôi và chiều ngược, cộng từng cặp thẳng hàng. Cặp đầu là 1 + 100, cặp thứ hai là 2 + 99, cặp nào cũng bằng 101. Có 100 cặp như vậy, nhưng mỗi số được đếm hai lần, nên tổng là 100 × 101/2 = 5050.
Cấp số cộng nào cũng ghép cặp được như thế, vì đi từ đầu vào thì tăng d, đi từ cuối vào thì giảm d, hai thay đổi bù trừ nhau. Mọi cặp đều bằng u1 + un, có n cặp, chia đôi vì đếm hai lần, nên Sn = n(u1 + un)/2. Nói bằng lời: tổng bằng số số hạng nhân với trung bình cộng của số đầu và số cuối.
Ví dụ: tính 2 + 5 + 8 + … + 29. Trước hết tìm số số hạng: 29 = 2 + (n − 1) × 3, nên n − 1 = 9, n = 10. Tổng là 10 × (2 + 29)/2 = 10 × 31/2 = 155. Kiểm bằng cách cộng tay: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29 cộng dồn ra 7, 15, 26, 40, 57, 77, 100, 126, 155. Khớp.
Bước tìm n là chỗ bị bỏ qua nhiều nhất. Nhiều bạn thấy số cuối là 29 rồi lấy luôn n = 29, hoặc chia 29 cho 3. Đề bài cho số cuối chứ không cho số số hạng, nên bạn luôn phải giải phương trình un = u1 + (n − 1)d để tìm n trước khi dùng công thức tổng.
Công thức tổng cấp số nhân: nhân với q rồi trừ
Công thức tổng cấp số nhân trông khó nhớ, nhưng cách tìm ra nó chỉ có ba dòng, và hiểu cách tìm thì bạn không bao giờ phải thuộc lòng. Ví dụ: tính S = 3 + 6 + 12 + … + 384.
- Nhận dạng. u1 = 3, q = 2. Tìm n: 384 = 3 × 2^(n − 1), nên 2^(n − 1) = 128 = 2^7, n − 1 = 7, n = 8.
- Viết S và qS chồng lên nhau. S = 3 + 6 + 12 + … + 384. Nhân hai vế với 2: 2S = 6 + 12 + … + 384 + 768. Hai dòng có chung gần hết các số hạng, chỉ lệch ở hai đầu.
- Trừ hai dòng. 2S − S = 768 − 3, mọi số hạng ở giữa triệt tiêu. Vậy S = 765.
- Đối chiếu với công thức. Sn = u1(q^n − 1)/(q − 1) = 3 × (256 − 1)/1 = 765. Đây là cùng công thức trong bảng, chỉ nhân cả tử và mẫu với −1 cho đỡ dấu âm khi q lớn hơn 1.
- Kiểm bằng cộng dồn. 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384 cộng dồn ra 9, 21, 45, 93, 189, 381, 765. Khớp.
Mẹo nhân với q rồi trừ cũng giải thích vì sao công thức không dùng được khi q = 1: lúc đó qS bằng đúng S, trừ đi ra 0 = 0, không cho thông tin gì, còn mẫu số 1 − q bằng 0. Khi q = 1, mọi số hạng bằng nhau và tổng đơn giản là n × u1.
Những lỗi hay gặp và cách soát
Nhầm n với n − 1. Số hạng thứ n chỉ cần n − 1 bước cộng hoặc nhân, vì số hạng thứ nhất đã có sẵn. Kiểm nhanh bằng n = 1: công thức phải trả về đúng u1. Với un = u1 + (n − 1)d, thay n = 1 được u1, đúng; nếu ai đó viết u1 + nd, thay n = 1 được u1 + d, sai ngay.
Đếm sai số số hạng trong một đoạn. Từ số hạng thứ 5 đến số hạng thứ 12 có 12 − 5 + 1 = 8 số hạng, không phải 7. Đây là lỗi "đếm cọc hàng rào": hàng rào dài 7 khoảng thì có 8 cái cọc. Khi không chắc, liệt kê thử với số nhỏ, chẳng hạn từ thứ 2 đến thứ 4 là ba số hạng.
Bỏ quên dấu của công bội âm. Dãy 2, −6, 18, −54 là cấp số nhân với q = −3. Số hạng thứ năm là 2 × (−3)^4 = 2 × 81 = 162, dương; số hạng thứ sáu là 2 × (−3)^5 = −486, âm. Bấm máy mà quên ngoặc quanh −3 sẽ ra −3^4 = −81, sai dấu.
Dùng công thức tổng khi chưa chắc là cấp số. Dãy 1, 4, 9, 16 có hiệu 3, 5, 7, không đều, và thương cũng không đều, nên không phải cấp số cộng hay cấp số nhân. Áp công thức vào là ra số vô nghĩa.
Nhầm tính chất ba số liên tiếp. Ba số 2, 6, 18 là cấp số nhân vì 6^2 = 36 = 2 × 18; không phải cấp số cộng vì (2 + 18)/2 = 10, khác 6. Bài tìm x để ba số lập cấp số luôn bắt đầu bằng việc viết đúng một trong hai đẳng thức này.
Cấp số trong đời sống: tăng thêm một lượng và tăng theo một tỉ lệ
Hai loại cấp số mô tả hai kiểu tăng rất khác nhau, và phân biệt được chúng là một kỹ năng dùng cả đời. Tăng thêm cùng một lượng mỗi kỳ là cấp số cộng: ví dụ giả định, một bạn để dành 50 nghìn đồng tuần đầu, mỗi tuần sau để nhiều hơn tuần trước 10 nghìn. Tuần thứ 12 bạn để 50 + 11 × 10 = 160 nghìn, và tổng 12 tuần là 12 × (50 + 160)/2 = 1 260 nghìn đồng.
Tăng theo cùng một tỉ lệ mỗi kỳ là cấp số nhân. Ví dụ giả định về lãi kép, không phải lãi suất thật của ngân hàng nào: gửi 10 triệu đồng, lãi 6% một năm, lãi nhập vào gốc. Sau mỗi năm số tiền nhân với 1,06, nên sau 3 năm là 10 × 1,06^3, khoảng 11,91 triệu đồng. Phần lãi năm sau lớn hơn năm trước vì nó tính trên số đã lớn hơn.
Một thí nghiệm nhỏ giúp cảm nhận cấp số nhân: tờ giấy dày khoảng 0,1 mm, mỗi lần gấp đôi thì độ dày nhân 2. Gấp 10 lần, nếu gấp được, độ dày là 0,1 × 2^10 = 102,4 mm, hơn một gang tay. Trên thực tế bạn chỉ gấp được vài lần, và chính điều đó cho thấy tăng theo tỉ lệ nhanh đến mức nào.
Các ví dụ tiền ở trên chỉ để minh hoạ phép tính. Khi gặp các khoản vay hay tiết kiệm thật, cách tính lãi cụ thể do hợp đồng quy định và cần hỏi người lớn hoặc người có chuyên môn.
Dùng bảng tính và AI để kiểm, không để làm hộ
Dạng bài cấp số có lợi thế lớn: mọi đáp số đều kiểm được bằng cách liệt kê thật. Quy trình dưới đây giữ phần suy nghĩ cho bạn và giao phần tính lặp cho máy.
- Tự giải trên giấy trước, ghi rõ u1, d hoặc q, n, rồi mới áp công thức.
- Kiểm bằng bảng tính. Cột A ghi số thứ tự 1, 2, 3, …; ô B1 ghi u1; ô B2 ghi công thức lấy ô trên cộng d (hoặc nhân q), kéo xuống đủ n dòng; một ô dưới cùng tính tổng cột B. Hai con số của bạn và của bảng tính phải trùng.
- Nhờ AI hỏi ngược. Câu lệnh mẫu: "Em đang học cấp số cộng lớp 11. Đây là lời giải của em cho bài tìm tổng các số lẻ từ 15 đến 95. Đừng giải lại; hãy hỏi em hai câu để em tự kiểm bước tìm số số hạng."
- Nhờ AI ra bài để luyện. "Cho em năm dãy số, có dãy là cấp số cộng, có dãy là cấp số nhân với công bội âm, có dãy không phải cấp số. Chưa cho đáp án."
- Soát lời giải của AI ở hai chỗ. Số số hạng n và lũy thừa của số âm. Chatbot đôi khi đếm sai n hoặc tính sai lũy thừa lớn; đối chiếu với bảng tính trước khi tin.
- Che thông tin cá nhân. Ảnh đề gửi đi không cần tên, lớp, tên trường hay tên thầy cô.
Với bài tổng các số lẻ từ 15 đến 95 ở trên, bạn có thể tự kiểm: d = 2, 95 = 15 + (n − 1) × 2 nên n = 41, tổng là 41 × (15 + 95)/2 = 41 × 55 = 2255. Bảng tính phải ra cùng con số.
Câu hỏi thường gặp
Làm sao biết một dãy là cấp số cộng hay cấp số nhân?
Tính hiệu của mọi cặp số liên tiếp: nếu đều bằng nhau thì là cấp số cộng. Nếu không, tính thương của mọi cặp liên tiếp: đều bằng nhau thì là cấp số nhân. Phải kiểm đủ các cặp mà đề cho, không chỉ hai cặp đầu.
Vì sao công thức số hạng tổng quát có n − 1 chứ không phải n?
Vì số hạng thứ nhất đã có sẵn, để đến số hạng thứ n chỉ cần n − 1 lần cộng thêm d hoặc nhân thêm q. Thay n = 1 vào công thức phải ra đúng u1, đó là cách kiểm nhanh nhất.
Cấp số nhân có công bội âm thì có gì khác?
Các số hạng đổi dấu luân phiên: dương, âm, dương, âm nếu u1 dương. Công thức số hạng tổng quát và công thức tổng vẫn dùng như cũ, chỉ cần cẩn thận dấu ngoặc khi tính lũy thừa của số âm trên máy tính.
Công sai bằng 0 hay công bội bằng 1 thì sao?
Khi đó mọi số hạng bằng nhau, dãy là dãy hằng. Nó vẫn là cấp số cộng với d = 0 và cấp số nhân với q = 1 (nếu các số khác 0). Tổng n số hạng đơn giản là n nhân u1; công thức tổng cấp số nhân thông thường không dùng được vì mẫu bằng 0.
Có nên nhờ AI giải luôn bài cấp số không?
Không nên với bài tập để học, vì bạn sẽ bỏ qua đúng bước tìm n và nhận dạng dãy, hai kỹ năng mà bài muốn luyện. Hãy tự giải rồi nhờ AI đặt câu hỏi soát lỗi, và kiểm đáp số bằng bảng tính.
Lãi kép có phải là cấp số nhân không?
Trong mô hình đơn giản, lãi nhập vào gốc theo cùng một tỉ lệ mỗi kỳ thì số tiền sau từng kỳ tạo thành cấp số nhân với công bội bằng 1 cộng lãi suất. Các khoản tiền thật còn phụ thuộc điều khoản hợp đồng, nên ví dụ trong sách chỉ để học cách tính.